4.        ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

4.2. Προβολές χαρτών

4.3.1. Γενικά

Πρόβλημα των προβολών αποτελεί το πώς, οι γραμμές και τα σημεία ενός συστήματος συντεταγμένων, από την σαφώς καθορισμένη επιφάνεια ενός ουράνιου σώματος, πρέπει να απεικονιστούν με ορισμένους κανόνες σε επίπεδο, ώστε να αποτελούν τον κατάλληλο σκελετό για χαρτογραφικές παραστάσεις.

Οι προβολές χαρτών αφορούν κυρίως την επιφάνεια της Γης.  Για χάρτες μεγάλης και μεσαίας κλίμακας, η Γη θεωρείται ως ελλειψοειδές από περιστροφή, και χρησιμοποιούνται γεωδαιτικές προβολές.  Οι καθ' αυτό χαρτογραφικές προβολές χρησιμοποιούνται για χάρτες μικρής κλίμακας.  Ακόμα, για χάρτες με κλίμακα μικρότερη από 1/2.000.000 μπορεί να αντικατασταθεί το ελλειψοειδές με σφαίρα χωρίς να προκύψουν σημαντικά σφάλματα.

Η αποδοχή ότι η Γη έχει σφαιρικό σχήμα αποτελεί τη βάση για την περιγραφή, στη συνέχεια, των επιμέρους προβολών.  Η ακτίνα της Γης για λόγους υπολογιστικούς θεωρείται ίση με 6.370 Km.

Το δίκτυο των χαρτών μικρής κλίμακας δεν είναι τίποτε άλλο, από το δίκτυο των γραμμών που δίνουν οι παράλληλοι και οι μεσημβρινοί.

4.3.2. Δυνατότητες και όρια των προβολών

Είναι αδύνατο η σφαιρική επιφάνεια της Γης να απεικονιστεί σε επίπε- δο με όλα τα πλεονεκτήματα της υδρογείου σφαίρας, δηλαδή με ταυτόχρονη πιστότητα στην έκταση, στις γωνίες και στις αποστάσεις.  Κατά συνέπεια, σε μια προβολή είναι δυνατόν να έχουμε πιστότητα μόνον της έκτασης ή των γωνιών, ή των αποστάσεων.  Προβολή που να έχει πιστότητα αποστάσεων σ' όλη της την έκταση δεν υπάρχει.  Με κάθε προβολή της σφαιρικής επιφάνειας σε επίπεδο εμφανίζονται σφάλματα (παραμορφώσεις), τα οποία είναι τόσο μεγαλύτερα, όσο μεγαλύτερο είναι το τμήμα της προβαλλόμενης επιφάνειας.

Η μαθηματική εξέταση των νόμων των προβολών είναι αντικείμενο των Μαθηματικών.  Οι Γεωγράφοι και οι Γεωλόγοι πρέπει να γνωρίζουν τις βασικές αρχές των προβολών, για να μπορούν να χρησιμοποιούν σωστά τους διάφορους χάρτες.  Επίσης, στις περιπτώσεις που θα χρειαστεί να κατασκευάσουν χάρτη για ένα συγκεκριμένο σκοπό, να είναι σε θέση να διαλέξουν την κατάλληλη προβολή.

Τα βασικά στοιχεία που μας ενδιαφέρουν από μια προβολή είναι:

1. Η ακρίβεια με την οποία δίνει μια προβολή την κλίμακα, κατά μήκος των παράλληλων και των μεσημβρινών.

2. Η ακρίβεια με την οποία η προβολή δίνει το σχήμα των προβαλλόμενων επιφανειών.

3. Η ακρίβεια του εμβαδού των προβαλλόμενων επιφανειών.

4. Η ευκολία με την οποία μπορεί να κατασκευαστεί η προβολή.

Η εκλογή της προβολής θα πρέπει να γίνεται ανάλογα με το σκοπό για τον οποίο πρόκειται να χρησιμοποιηθεί ο χάρτης που θα κατασκευαστεί με βάση την προβολή αυτή.  Τοπογραφικοί και θεματικοί χάρτες που χρησιμοποιούνται για συγκρίσεις επιφανειών κατασκευάζονται με βάση τις προβολές ίσης έκτασης.  Οι χάρτες του ναυτικού και τις αεροπορίας βασίζονται σε ισογωνικές προβολές.  Χάρτες που χρησιμοποιούνται για συγκρίσεις αποστάσεων κατασκευάζονται με βάση τις προβολές ίσης απόστασης και είναι συνήθως μεγάλης κλίμακας.

Προϋπόθεση για τη σωστή χρησιμοποίηση και ερμηνεία ενός χάρτη είναι ότι, ο χρήστης του χάρτη πρέπει να έχει τη δυνατότητα να διακρίνει ποια προβολή χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του.

4.3.3. Διαίρεση των προβολών

Ο μεγάλος θεωρητικά αριθμός των προβολών μπορεί να διαιρεθεί:

1. Ανάλογα με τον τρόπο κατασκευής τους.

2. Ανάλογα με την επιφάνεια προβολής που χρησιμοποιήθηκε και

3. Ανάλογα με τη θέση της επιφάνειας προβολής στο δίκτυο των παράλληλων και μεσημβρινών της γήινης σφαίρας.

1. Ανάλογα με τον τρόπο κατασκευής τους, οι προβολές διακρίνονται σε γνήσιες και μη γνήσιες.

Οι γνήσιες προβολές βασίζονται κυρίως στη γεωμετρική κατασκευή, και σ' αυτές ανήκουν και οι προοπτικές προβολές.

Από το κέντρο της Γης, τον πόλο, ή από οποιοδήποτε σημείο του άξονα της που λαμβάνεται ως κέντρο της προβολής, προβάλλονται όλοι οι παράλληλοι και μεσημβρινοί κύκλοι της γήινης σφαίρας στην επιφάνεια επαφής.

Μεγαλύτερη πρακτική σημασία έχουν οι μη γνήσιες προβολές, που δεν είναι προοπτικές, αλλά μαθηματικές κατασκευές που μπορούν να έχουν ανάλογες ιδιότητες με τις γνήσιες προβολές.

2. Ανάλογα με την επιφάνεια προβολής που χρησιμοποιείται, διαιρούνται οι προβολές σε Αζιμουθιακές, Κυλινδρικές και Κωνικές.

Οι Αζιμουθιακές προβολές προκύπτουν από την προβολή του δικτύου των παράλληλων και των μεσημβρινών σε επίπεδο που εφάπτεται σε ένα σημείο της γήινες σφαίρας (Σχ. 16).

Σχ. 16. Αζιμουθιακή προβολή  (Heissler-Hake 1970)

Οι Κυλινδρικές προβολές προκύπτουν από την προβολή των παράλληλων και των μεσημβρινών στην εσωτερική επιφάνεια ενός κυλίνδρου (Σχ. 17).

Σχ. 17. Κυλινδρική προβολή      (Heissler-Hake 1970)

Οι Κωνικές προβολές προκύπτουν από την προβολή του δικτύου των παράλληλων και των μεσημβρινών στην εσωτερική επιφάνεια ενός κώνου (Σχ. 18).

Το επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί σαν κώνος με γωνία κορυφής 180° και ο κύλινδρος σαν κώνος με κορυφή στο άπειρο.  Οι Αζιμουθιακές και οι Κυλινδρικές προβολές μπορούμε να πούμε ότι είναι οριακές μορφές των κωνικών προβολών.

Σχ. 18. Κωνική προβολή  Heissler-Hake 1970)

3. Ανάλογα με τη θέση της επιφάνειας προβολής διαιρούνται σε Κατακόρυφες ή Πολικές, Ισημερινές ή Εγκάρσιες, και Πλάγιες προβολές.

Κατακόρυφες ή Πολικές χαρακτηρίζονται εφ' όσον ο άξονας του κυλίνδρου ή του κώνου συμπίπτει με τον άξονα της Γης, ή εφ' όσον συμπίπτει ο άξονας της Γης με την κατακόρυφο στο σημείο επαφής του επιπέδου (Σχ. 19α).

Σχ. 19.  Δυνατές θέσεις της επιφάνειας προβολής
Ε = Αζιμουθιακή προβολή. Κ = Κωνική προβολή και Ζ = Κυλινδρική προβολή,
α) Κατακόρυφη ή πολική,
β) Ισημερινή ή εγκάρσια
γ) Πλάγια. (Heissler-Hake 1970).

Ισημερινές ή Εγκάρσιες χαρακτηρίζονται εφ' όσον ο άξονας του κώνου ή του κυλίνδρου είναι κάθετος προς τον άξονα της Γης, ή εφ' όσον ο άξονας της Γης και η κατακόρυφος στο σημείο επαφής του επιπέδου τέμνονται κάθετα μεταξύ τους (Σχ. 19β).

Τέλος, πλάγιες χαρακτηρίζονται εφ' όσον ο άξονας του κώνου ή του κυλίνδρου, ή η κατακόρυφος στο σημείο επαφής του επιπέδου σχηματίζουν με τον άξονα της Γης τυχαία γωνία.

4.3.3.1.  ΑΖΙΜΟΥΘΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Χρησιμοποιούνται κυρίως για χαρτογράφηση πολικών περιοχών, αλλά και για την κατασκευή χαρτών Ηπείρων και Ωκεανών, και για την κατασκευή αστρονομικών, ναυτικών και αεροπορικών χαρτών.

Σε αντίθεση με τις κωνικές και κυλινδρικές προβολές, δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των γνησίων και μη γνησίων Αζιμουθιακών προβολών, επειδή κύκλοι, ελλείψεις, δέσμες ακτινών και παράλληλες γραμμές μπορούν να εμφανιστούν, σε διάφορους συνδυασμούς στο δίκτυο των παράλληλων και μεσημβρινών.

Ανάλογα με τη θέση του κέντρου της προβολής ή της φωτεινής πηγής, διακρίνονται σε Γνωμονικές ή Κεντρικές, Στερεογραφικές και Ορθογραφικές προβολές.

Στις Γνωμονικές προβολές, ως κέντρο της προβολής θεωρείται το κέντρο της γήινης σφαίρας.

Στις Στερεογραφικές προβολές, ως κέντρο της προβολής θεωρείται το αντιδιαμετρικό σημείο του σημείου επαφής του επίπεδου προβολής.

Στις Ορθογραφικές προβολές, ως κέντρο της προβολής θεωρείται το άπειρο.

Ανάλογα με τη θέση του σημείου επαφής του επίπεδου προβολής, διακρίνονται σε Πολικές, Ισημερινές ή Οριζόντιες και Πλάγιες.

1. Πολικές Αζιμουθιακές προβολές

Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες των προβολών αυτών είναι:

α) Κέντρο του χάρτη και σημείο επαφής του επίπεδου είναι ο Πόλος.

β) Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως δέσμη ακτινών.

γ) Η γωνία α, την οποία σχηματίζουν δύο μεσημβρινοί στο κέντρο του χάρτη, (Σχ. 20), είναι ίση με τη γωνία λ, που σχηματίζουν οι αντίστοιχοι μεσημβρινοί στη σφαίρα.  Αυτή η σχέση εκφράζεται με την εξίσωση α = λ.

δ) Οι παράλληλοι κύκλοι είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το κέντρο του χάρτη.  Τα μήκη Μ των ακτινών των παράλληλων κύκλων είναι συνάρτηση της απόστασης δ από τον πόλο, η οποία λέγεται πολική απόσταση.  Η δεύτερη εξίσωση των προβολών αυτών είναι: Μ = f(δ).

Η πολική απόσταση δ αντιστοιχεί με την συμπληρωματική γωνία του γεωγραφικού πλάτους των παράλληλων κύκλων, και υπολογίζεται από τη σχέση δ = 90°-φ.  Όπου φ το γεωγραφικό πλάτος του παραλλήλου κύκλου.

Όλες οι Αζιμουθιακές προβολές διακρίνονται μεταξύ τους μόνον από τα διαφορετικά μήκη των ακτινών των παράλληλων τους.

Σχ. 20. Η γωνία λ, μεταξύ δύο μεσημβρινών στη σφαίρα, είναι ίση με τη γωνία α των αντίστοιχων μεσημβρινών στην προβολή.  Όπου δ = η πολική απόσταση τον σημείου Ρ.

1.1. Κεντρική ή Γνωμονική προβολή (Σχ. 21)

Το κέντρο της προβολής βρίσκεται στο κέντρο της γήινης σφαίρας.  Οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων κύκλων μεγαλώνουν όσο απομακρυνόμαστε από το σημείο επαφής.  Με την προβολή αυτή δεν μπορεί να απεικονιστεί ολόκληρο ημισφαίριο, επειδή, όπως φαίνεται και στο Σχ. 21β, ο ισημερινός τέμνει το επίπεδο του χάρτη στο ∞.  Η μεγάλη αύξηση της κλίμακας, όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της προβολής προς τα άκρα, έχει ως αποτέλεσμα οι προβαλλόμενες επιφάνειες που βρίσκονται σε γεωγραφικό πλάτος 45°, να είναι τρεις φορές μεγαλύτερες σε έκταση απ' ότι στην πραγματικότητα.

Η προβολή αυτή δεν είναι ούτε ίσης έκτασης, ούτε ίσης απόστασης, έχει όμως ιδιαίτερη πρακτική σημασία, επειδή όλοι οι μέγιστοι κύκλοι και η Ορθοδρόμος απεικονίζονται ως ευθείες γραμμές.  Όταν λέμε Ορθοδρόμο εννοούμε το τόξο του μέγιστου κύκλου, που περνάει από δύο σημεία της γήινης σφαίρας και αντιστοιχεί στη μικρότερη δυνατή απόσταση μεταξύ των σημείων αυτών.

Η κεντρική προβολή χρησιμοποιείται για την κατασκευή χαρτών που εξυπηρετούν την ναυσιπλοΐα και αεροπλοΐα.  Παλαιότερα χρησιμοποιούταν η προβολή αυτή για την κατασκευή ηλιακών ρολογιών, γι' αυτό χαρακτηρίζεται και ως Γνωμονική προβολή.

Η γεωμετρική κατασκευή της προβολής αυτής γίνεται ως εξής:  Αν δεχτούμε ότι η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με τη μονάδα (Σχ. 21α), και το επίπεδο της προβολής εφάπτεται στο Β. Πόλο, τότε η ακτίνα του παράλληλου κύκλου που περνάει από το σημείο Ρ υπολογίζεται, εάν συνδέσουμε το κέντρο του κύκλου με το σημείο Ρ και προεκτείνουμε την ακτίνα ΟΡ, μέχρι να συναντήσει το επίπεδο Ε στο σημείο Ρ'.  Η ΠΡ' είναι ίση με την ακτίνα Μ του παράλληλου κύκλου στην επιφάνεια προβολής.  Όπως φαίνεται και στο Σχ. 21α το τμήμα ΠΡ' αντιστοιχεί με την εφαπτόμενη της γωνίας δ.  Η γωνία δ, όπως προαναφέραμε, χαρακτηρίζεται ως πολική απόσταση του σημείου και είναι ίση με την συμπληρωματική γωνία του γεωγραφικού πλάτους του παράλληλου που περνά από το Ρ.  Τα μήκη των ακτινών των παράλληλων κύκλων στη γνωμονική προβολή είναι συνάρτηση της εφαπτομένης της πολικής τους απόστασης δ.

Σχ. 21. α) Η ακτίνα των παράλληλων κύκλων στη γνωμονική προβολή είναι ίση με την εφαπτόμενη της πολικής απόστασης δ.
β) Ο ισημερινός προβάλλεται στο ∞.
γ) Τμήμα του βόρειου ημισφαίριου της Γης σε κεντρική πολική προβολή (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Παράδειγμα:  Έστω ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε πολική γνωμονι-κή προβολή, στην οποία οι μεσημβρινοί να απεικονίζονται ανά 30°, οι παράλληλοι ανά 15° και η προβολή αυτή να περιλαμβάνει το βόρειο πολικό τμήμα της Γης μέχρι γεωγραφικό πλάτος 45°.

Επειδή η γνωμονική προβολή είναι Αζιμουθιακή, και οι γωνίες μεταξύ των μεσημβρινών σ' όλες τις Αζιμουθιακές προβολές είναι ίσες με τις αντίστοιχες γωνίες των μεσημβρινών στη σφαίρα, με κέντρο ένα σημείο Ο κατασκευάζουμε με το μοιρογνωμόνιο διαδοχικές γωνίες των 30° (Σχ. 22).  Ο πόλος Π αντιστοιχεί στο σημείο Ο και έχει γεωγραφικό πλάτος 90°. Η ακτίνα του 75ου παράλληλου κύκλου υπολογίζεται από την εφαπτόμενη της πολικής του απόστασης που είναι 15°, (δ = 90° - 75° = 15°), δηλ. Μ75 = εφ5° = 0,2679.

Σχ. 22. Πολική γνωμονική προβολή του δικτύου των παράλληλων και των μεσημβρινών της Γης, με κλίμακα 1:100.000.000.

Η ακτίνα του 60ου παράλληλου υπολογίζεται από την εφαπτομένη της πολικής του απόστασης που είναι 30°, δηλ. Μ60 = εφ30° = 0,5774.  Η ακτίνα του 45ου παραλλήλου είναι M45 = εφ45° = 1.

Προκειμένου να κατασκευάσουμε την προβολή αυτή σε μία επιθυμητή κλίμακα, πολλαπλασιάζουμε τις τιμές των ακτινών των παράλληλων κύκλων που υπολογίσαμε παραπάνω (ισχύουν για τον τριγωνομετρικό κύκλο), με τη σχέση R/K.  Όπου R = ακτίνα της Γης και Κ = κλίμακα της προβολής.  Η ακτίνα της Γης R είναι 6.370 Km ή 6.370.000 m ή 637.000.000 cm.  Αν η επιθυμητή μας κλίμακα π.χ. είναι 1:100.000.000, η σχέση R/K είναι ίση με

 = 6,37 cm

Οι ακτίνες των παράλληλων κύκλων, σε κλίμακα 1:100.000.000, έχουν τις παρακάτω τιμές:

Μ75 = 6,37 cm . 0,2679  = 1,7 cm

Μ60 = 6,37 cm .  0,5774 = 3,68 cm

M45 = 6,37 cm · 1           = 6,37 cm

Με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνες 1,67 cm, 3,68 cm και 6,37 cm γράφουμε ομόκεντρους κύκλους που αντιστοιχούν στους παράλληλους 75°, 60° και 45°.  Έτσι παίρνουμε την προβολή του Σχ. 22.

1.2. Πολική ορθογραφική προβολή (Σχ. 23α)

Το κέντρο της προβολής βρίσκεται στο άπειρο και οι ακτίνες προβολής είναι παράλληλες προς τον άξονα της Γης.  Για το λόγο αυτό μπορούν να προβληθούν όλοι οι παράλληλοι κύκλοι, συμπεριλαμβανομένου και του ισημερινού, αλλά οι παράλληλοι κύκλοι πέραν του ισημερινού πλησιάζουν πολύ μεταξύ τους.  Η εικόνα του χάρτη που κατασκευάζεται με βάση την πολική ορθογραφική προβολή είναι όμοια με αυτή της γήινης σφαίρας.  Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα για την κατασκευή χαρτών της Σελήνης και για χάρτες που χρησιμοποιεί η Μαθηματική Γεωγραφία.

Χαρακτηρίζεται ως ορθογραφική, γιατί τα μήκη των παράλληλων κύκλων στην προβολή αυτή αντιστοιχούν, σε κλίμακα, με τα πραγματικά στη γήινη σφαίρα.  Αυτό σημαίνει ότι κατά μήκος των παράλληλων η προβολή είναι ίσης απόστασης.  Χαρακτηριστικό γνώρισμα της είναι η μείωση της κλίμακας προς τα άκρα της προβολής.

Η γεωμετρική κατασκευή γίνεται με τη βοήθεια των παρακάτω εξισώσεων της προβολής : α = λ και Μ = ημδ.

Προκειμένου να κατασκευαστεί η προβολή αυτή σε μία επιθυμητή κλίμακα, πολλαπλασιάζουμε τις τιμές των ακτινών των παράλληλων κύκλων που υπολογίζονται από την εξίσωση Μ = ημδ, με το λόγο R/K.  Όπου R = ακτίνα της Γης, και Κ = επιθυμητή κλίμακα.  Η διαδικασία της γεωμετρικής κατασκευής είναι ίδια μ' αυτή που ακολουθήσαμε για την κατασκευή της γνωμονικής προβολής.

Σχ. 23. α) Οι αποστάσεις των παράλληλων κύκλων μικραίνουν προς τα άκρα της προβολής.
β) Το βόρειο ημισφαίριο της Γης σε πολική ορθογραφική προβολή. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

1.3. Πολική στερεογραφική προβολή

Έχει μια ενδιάμεση θέση μεταξύ των γνωμονικής και ορθογραφικής προβολής.  Όπως φαίνεται και στο Σχ. 24α, πρόκειται για γνήσια προοπτική προβολή.  Το κέντρο της προβολής βρίσκεται στο αντιδιαμετρικό σημείο του πόλου, και για το λόγο αυτό μπορεί να προβληθεί ολόκληρο ημισφαίριο χωρίς σημαντικές παραμορφώσεις.  Η προβολή είναι ισογωνική, δηλαδή η χωρογραφική θέση κάθε τόπου, λόγω της ανάλογης παραμόρφωσης των μεσημβρινών και παράλληλων, παραμένει αμετάβλητη.

Παλαιότερα χρησιμοποιόταν για την κατασκευή ναυτικών χαρτών σήμερα για αστρονομικούς χάρτες και χάρτες καιρού.

Το δίκτυο της προβολής αυτής μπορεί να κατασκευαστεί γεωμετρικά με βάση τις παρακάτω εξισώσεις: α = λ και Μ = 2εφδ/2.

Οι μεσημβρινοί μπορούν να χαραχθούν όπως και στη γνωμονική προβολή.  Οι τιμές των ακτινών των παράλληλων κύκλων υπολογίζονται από την εξίσωση Μ = 2εφδ/2.  Οι τιμές αυτές πολλαπλασιάζονται με το λόγο R/K, προκειμένου η προβολή να κατασκευαστεί με κλίμακα Κ. Ρ = ακτίνα της Γης.  Οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων κύκλων αυξάνουν προς τα άκρα της προβολής, αλλά σε πολύ μικρότερο βαθμό συγκριτικά με τη γνωμονική προβολή.

Σχ. 24. α) Στερεογραφική προβολή.
β) Το βόρειο ημισφαίριο σε πολική στερεογραφική προβολή. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

1.4. Πολική ίσης απόστασης προβολή

Βασίζεται σε σχεδιαστική κατασκευή και κατά συνέπεια δεν είναι προοπτική προβολή.  Κατασκευάστηκε για πρώτη φορά από τον Μερκάτορα το 1659 και έχει τις χαρακτηριστικές ιδιότητες των Ζενιθιακών προβολών.  Οι εξισώσεις της προβολής αυτής είναι: α = λ, Μ = τοξδ και η κατασκευή της γίνεται ως εξής: Οι μεσημβρινοί σχεδιάζονται ως δέσμη ακτινών που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία α = λ.  Οι ακτίνες των παράλληλων κύκλων υπολογίζονται με τον παρακάτω συλλογισμό.  Επειδή η ημιπεριφέρεια (επίκεντρη γωνία 180°) είναι ίση με π = 3,14, η επίκεντρη γωνία 1° είναι ίση με 0,01745.  Για τυχαία επίκεντρη γωνία δ παίρνουμε την τιμή 0,01745·δ, που αντιστοιχεί με την ακτίνα Μ παράλληλου κύκλου που έχει πολική απόσταση δ στον τριγωνομετρικό κύκλο.  Η τιμή αυτή πολλαπλασιάζεται με το λόγο R/K.R = ακτίνα της Γης και Κ = η κλίμακα με την οποία θέλουμε να κατασκευαστεί η προβολή.  Παρακάτω αναφέρουμε ένα παράδειγμα:

Έστω ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε πολική ίσης απόστασης προβολή με κλίμακα 1:200.000.000, όπου οι μεσημβρινοί να απεικονίζονται ανά 30° και οι παράλληλοι ανά 15°.

Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο Ο, κατασκευάζουμε με τη βοήθεια του μοιρογνωμονίου διαδοχικές γωνίες των 30° (Σχ. 25α).  Οι ακτίνες της δέσμης που θα σχηματιστεί αντιστοιχούν στους μεσημβρινούς.

Σχ. 25. α) Το δίκτυο των παράλληλων και των μεσημβρινών σε προβολή ίσης απόστασης με κλίμακα 1:200.000.000.
β) Το πολικό τμήμα του Β. ημισφαίριου σε προβολή ίσης απόστασης.
(Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Τα μήκη των ακτινών των παράλληλων κύκλων υπολογίζονται με βάση την εξίσωση

Μ = 0,01745 . δ .

Ο λόγος R/K είναι ίσος με:

 ή  = 3,185 cm

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας με τις τιμές των ακτινών των παράλληλων κύκλων.

Μ90 = 0.01745·δ·   = 0,01745 . 0 . 3,185cm = 0 cm

Μ75 = 0.01745·δ·   = 0,01745 . 15 . 3,185cm = 0,834 cm

Μ60= 0.01745·δ·   =0,01745 . 30 . 3,185cm = 1,667 cm

Μ45= 0.01745·δ·   =0,01745 . 45 . 3,185cm = 2,501 cm

Μ30= 0.01745·δ·   = 0,01745 . 60 . 3,185cm = 3,335 cm

Μ15 = 0.01745·δ·   = 0,01745 . 75 . 3,185 cm = 4,173 cm

M0 = 0.01745·δ·   = 0,01745 . 90 . 3,185cm = 5,002 cm

Χαρακτηριστικό γνώρισμα της προβολής είναι ότι οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων κύκλων είναι ίσες, σε αντίθεση προς τις άλλες Αζιμουθιακές προβολές που εξετάσαμε μέχρι τώρα.

Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για την κατασκευή χαρτών των πολικών ζωνών της Γης και, με δεδομένα του ελλειψοειδούς, για την κατασκευή παγκοσμίων χαρτών περιοχών με γεωγραφικά πλάτη μεταξύ 60° και 90°.

1.5. Πολική Αζιμουθιακή ίσης έκτασης προβολή

Στην προβολή αυτή που κατασκευάστηκε για πρώτη φορά από τον Lambert (1772), η ακτίνα Μ του παράλληλου κύκλου εκλέγεται κατά ένα τέτοιο τρόπο, ώστε η καθοριζόμενη από τον κύκλο επιφάνεια, να έχει την ίδια έκταση (εμβαδό) με την αντίστοιχη σφαιρική επιφάνεια.

Το εμβαδό σφαιρικής επιφάνειας υπολογίζεται από τον τύπο F = 2π·R·h (1).  Για σφαίρα με ακτίνα ίση με τη μονάδα (Σχ. 26α), έχουμε F = 2π·h (2).  Αν εκφράσουμε το ύψος h σε σχέση με την επίκεντρη γωνία δ (πολική απόσταση), τότε έχουμε h = 1 - συνδ (3).  Το συνδ μπορεί να εκφραστεί με τη σχέση: συνδ = συν2δ/2 – ημ2δ/2 = 1 - 2ημ2δ/2, οπότε η σχέση (3) γίνεται h = 1 - 1 + 2ημ2δ/2 = 2ημ2δ/2.  Αν στη σχέση (2) αντικαταστήσουμε το h = 2ημ2δ/2 έχουμε: F = 2π·2ημ2δ/2 ή F = 4π·ημ2δ/2 (4).  Σύμφωνα με την ιδιότητα της προβολής, το εμβαδό της σφαιρικής επιφάνειας που καθορίζεται από τη σχέση (4) πρέπει να είναι ίσο με εμβαδό κύκλου που έχει ακτίνα Μ.  Το εμβαδό του κύκλου υπολογίζεται από τη σχέση f = Μ2 · π (5).  Τα δύο εμβαδά που καθορίζονται από τις σχέσεις (4) και (5) πρέπει να είναι ίσα, οπότε έχουμε F = f ή 4π · ημ2δ/2 = Μ2 · π ή 4ημ2δ/2 = Μ2 ή Μ = 2ημδ/2 (6).

Επειδή στην προβολή αυτή διατηρούνται οι ιδιότητες των Αζιμουθιακών προβολών, ισχύει η σχέση: α = λ (7).

Οι εξισώσεις της πολικής Αζιμουθιακής, ίσης έκτασης, προβολής εκφράζονται με τις σχέσεις (6) και (7).

Η ακτίνα Μ υλοποιεί τη γραμμική απόσταση του παράλληλου Ρ από τον πόλο Π, δηλαδή ίση με τη χορδή ΠΡ.  Στο γεγονός αυτό βασίζεται η γεωμετρική κατασκευή της προβολής του Σχ. 26β.  Όπως φαίνεται και στο Σχ. 26β, οι ακτίνες των παράλληλων κύκλων αντιστοιχούν στα μήκη των χορδών, που έχουν αρχή τον πόλο και τέλος τα σημεία των παράλληλων στην περιφέρεια.

Σχ. 26.  β) Γεωμετρική κατασκευή της πολικής ίσης έκτασης προβολής.
γ) Το Β. ημισφαίριο της Γης σε ίσης έκτασης πολική προβολή του Lambert (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για την κατασκευή πολικών χαρτών ή χαρτών του ενός ημισφαίριου (Σχ. 26γ).

Οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων κύκλων μικραίνουν όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της προβολής.

2. Ισημερινές Αζιμουθιακές προβολές

Το επίπεδο της επιφάνειας προβολής εφάπτεται στο σημείο τομής του ισημερινού και του κεντρικού μεσημβρινού της προβαλλόμενης επιφάνειας, οι οποίοι σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως καμπύλες και οι παράλληλοι ως ευθείες γραμμές ή καμπύλες.  Ο εξωτερικός μεσημβρινός αντιστοιχεί με το κυκλικό περιθώριο του χάρτη.

Με τις οριζόντιες Αζιμουθιακές προβολές κατασκευάζονται συνήθως χάρτες του ενός ημισφαίριου, είναι όμως δυνατή και η κατασκευή παγκόσμιων χαρτών.  Επίσης οι προβολές αυτές είναι καταλληλότερες για την χαρτογράφηση τμημάτων της επιφάνειας της Γης, που βρίσκονται ανατολικά ή δυτικά από τον κεντρικό μεσημβρινό.

Κατά την περιγραφή των οριζοντίων προβολών που ακολουθεί δεν θα αναφερθούμε στον μαθηματικό υπολογισμό των ακτινών των παράλληλων κύκλων και των μεσημβρινών, γιατί και απαιτούνται γνώσεις σφαιρικής τριγωνομετρίας, αλλά και είναι απαραίτητη η χρήση ειδικών πινάκων για τον τελικό υπολογισμό των ακτινών.  Επειδή μια τέτοια διαδικασία θα ήταν επίπονη και, όπως αναφέραμε στην αρχή του κεφαλαίου των προβολών, τον γεωγράφο και τον γεωλόγο τον ενδιαφέρουν κυρίως οι ιδιότητες των προβολών, θα αρκεστούμε στη συνέχεια στην περιγραφή των ιδιοτήτων και στη γεωμετρική κατασκευή των οριζόντιων Αζιμουθιακών προβολών.

2.1. Ισημερινή κεντρική προβολή

Το κέντρο της προβολής βρίσκεται στο κέντρο της Γης.  Επειδή η επιφάνεια προβολής εφάπτεται στον ισημερινό, οι πόλοι της Γης στην προβολή αυτή δεν μπορούν να απεικονιστούν, επειδή οι ακτίνες προβολής συναντούν την επιφάνεια στο άπειρο.

Σχ. 27. Το δίκτυο των παράλληλων και των μεσημβρινών σε ισημερινή κεντρική προβολή.

Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως παράλληλες γραμμές, των οποίων οι αποστάσεις μεγαλώνουν όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της προβολής (Σχ. 27).  Επειδή κάθε Ορθοδρόμος απεικονίζεται ως ευθεία γραμμή, η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για χάρτες που εξυπηρετούν τη ναυσιπλοΐα και αεροπλοΐα.  Οι παράλληλοι απεικονίζονται ως υπερβολές, βόρεια και νότια του ισημερινού.

Μειονέκτημα της ισημερινής κεντρικής προβολής είναι η μεγάλη αύξηση της κλίμακας προς το περιθώριο της, και για το λόγο αυτό είναι κατάλληλη μόνο για χαρτογραφήσεις περιοχών που βρίσκονται κοντά στον ισημερινό.

2.2. Ισημερινή ορθογραφική προβολή

Το κέντρο της προβολής βρίσκεται στο άπειρο και οι ακτίνες της προβολής είναι παράλληλες προς το επίπεδο του ισημερινού (Σχ. 28α).

Σχ. 28. α) Ισημερινή ορθογραφική προβολή.
 β) Το ατλαντικό ημισφαίριο σε ισημερινή ορθογραφική Αζιμονθιακή προβολή, (Η. Wilhelmy 1975).

Οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται ως παράλληλες γραμμές, των οποίων οι αποστάσεις μικραίνουν προς τους πόλους (Σχ. 28β).  Με την ίδια ορθογραφική αρχή ελαττώνονται και οι αποστάσεις μεταξύ των μεσημβρινών προς το περιθώριο της προβολής.

Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ελλείψεις, ανατολικά και δυτικά του κεντρικού μεσημβρινού.

Στην ισημερινή ορθογραφική προβολή τα ημισφαίρια της Γης απεικονίζονται όπως περίπου στην υδρόγειο σφαίρα (Σχ. 28β).

2.3. Ισημερινή στερεογραφική προβολή

Το επίπεδο προβολής εφάπτεται στο σημείο τομής του ισημερινού και του κεντρικού μεσημβρινού της προβαλλόμενης περιοχής.  Το κέντρο προβολής βρίσκεται σε αντιδιαμετρική θέση του σημείου επαφής του επίπεδου. Από το σημείο αυτό προβάλλονται οι παράλληλοι κύκλοι του εφαπτόμενου ημισφαίριου στο επίπεδο προβολής.  Οι ακτίνες προβολής διαιρούν τον κεντρικό μεσημβρινό σύμφωνα με τη στερεογραφική αρχή, δηλαδή, σε τμήματα των οποίων τα μήκη μεγαλώνουν από το κέντρο της προβολής προς τους πόλους.  Οι προεκτάσεις των ακτινών καθορίζουν τα σημεία διαίρεσης του οριακού μεσημβρινού (Σχ. 29α).

Σχ. 29. α) Ισημερινή στερεογραφική προβολή (Wilhelmy 1975).
β) Ο παλαιός κόσμος σε ισημερινή στερεογραφική Αζιμουθιακή προβολή.

Συνδέοντας τα σημεία τομής των ακτινών προβολής με τον κεντρικό και οριακό μεσημβρινό, καθορίζουμε την πορεία της γραμμής κάθε παράλληλου κύκλου στο επίπεδο προβολής (Σχ. 29α).

Ο ισημερινός διαιρείται κατά τον ίδιο τρόπο με τον κεντρικό μεσημβρινό.   Συνδέοντας τα σημεία διαίρεσης του ισημερινού με τους δύο πόλους παίρνουμε τις γραμμές απεικόνισης των μεσημβρινών.

Οι μεσημβρινοί και οι παράλληλοι κύκλοι, εκτός από τον ισημερινό και τον κεντρικό μεσημβρινό, απεικονίζονται ως καμπύλες.

Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για την κατασκευή χαρτών που απεικονίζουν το ένα από τα δύο ημισφαίρια της Γης (Σχ. 29β).  Επίσης χρη-σιμοποιείται στην κρυσταλλογραφία για την προβολή των εδρών των κρυ-στάλλων των ορυκτών.

2.4. Ισημερινή ίσης έκτασης προβολή του Lambert

Η προβολή δεν κατασκευάζεται γραφικά, όπως οι προηγούμενες ισημερινές προβολές που περιγράψαμε μέχρι τώρα.  Η κατασκευή της βασίζεται στην εξίσωση της σφαιρικής επιφάνειας με την επιφάνεια προβολής.  Η επιφάνεια κάθε ζώνης του δικτύου, μεταξύ δύο παράλληλων κύκλων, είναι ίση με την αντίστοιχη σφαιρική ζώνη.  Ο καθορισμός των σημείων διαίρεσης του κεντρικού μεσημβρινού και ισημερινού είναι πολύπλοκος.

Ο ισημερινός και ο κεντρικός μεσημβρινός τέμνονται ορθογώνια και διαιρούνται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε τα μήκη των τμημάτων διαίρεσης να ελαττώνονται προς το περιθώριο της προβολής (Σχ. 30).

Σχ. 30. Το ατλαντικό ημισφαίριο στην ισημερινή Αζιμουθιακή προβολή ίσης έκτασης του Lambert. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Ο οριακός μεσημβρινός της προβολής διαιρείται σε ίσα τόξα.  Αν συνδέσουμε τα σημεία διαίρεσης του οριακού μεσημβρινού με τα σημεία διαίρεσης του κεντρικού μεσημβρινού, θα προκύψουν καμπύλες γραμμές που αντιστοιχούν στους παράλληλους κύκλους.  Επίσης αν συνδέσουμε τα σημεία διαίρεσης του ισημερινού με τα σημεία των δύο πόλων, θα προκύψουν γραμμές που αντιστοιχούν στους μεσημβρινούς.

Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για παγκόσμιους χάρτες και χάρτες ηπείρων (Σχ. 30).  Η αξία της προβολής βρίσκεται στο γεγονός ότι είναι ίσης έκτασης.

3. Πλάγιες Αζιμουθιακές προβολές

Οι πολικές ή οι ισημερινές Αζιμουθιακές προβολές δεν είναι κατάλληλες για την χαρτογράφηση περιοχών με μέσα γεωγραφικά πλάτη, όπως π.χ. της Ευρώπης και της Β. Αμερικής.  Καταλληλότερες είναι οι πλάγιες Αζιμουθιακές προβολές, στις οποίες η επιφάνεια προβολής εφάπτεται στο κεντρικό σημείο της προβαλλόμενης περιοχής.

Η κατασκευή ορθογραφικών, κεντρικών, στερεογραφικών, ίσης απόστασης και ίσης έκτασης πλαγίων Αζιμουθιακών προβολών είναι δυνατή, αλλά απαιτείται ειδικός τρόπος υπολογισμού των σημείων τομής του δικτύου των παράλληλων και των μεσημβρινών.

Επειδή, στους χάρτες που κατασκευάζονται με πλάγιες Αζιμουθιακές προβολές, απεικονίζεται ο ένας από τους δύο πόλους της Γης και οι παράλληλοι κύκλοι κοντά στον πόλο απεικονίζονται ως ελλείψεις ή υπερβολές, η εικόνα του προβαλλόμενου ημισφαίριου είναι όμοια με αυτή του αντίστοιχου ημισφαίριου στη σφαίρα (Σχ. 31α και 31β).

Σχ. 31.   α) Πλάγια ίσης απόστασης Αζιμουθιακή προβολή. (Wilhelmy 1975).
β) ΗΕυρασία σε ίσης έκτασης πλάγια Αζιμουθιακή προβολή.

4.3.3.2. ΚΩΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Στις προβολές αυτές το δίκτυο των παράλληλων και των μεσημβρινών απεικονίζεται στην εσωτερική επιφάνεια ενός κώνου που εφάπτεται ή τέμνει τη σφαίρα.  Στην πράξη χρησιμοποιούνται μόνον οι κατακόρυφες κωνικές προβολές, για την χαρτογράφηση κυρίως περιοχών με μέσα γεωγραφικά πλάτη.  Το κέντρο της Γης, ο πόλος και η κορυφή του κώνου βρίσκονται στον ίδιο άξονα (Σχ. 32α).

Η ακτίνα Μ του κύκλου, κατά μήκος του οποίου εφάπτεται ο κώνος, δίνεται από τον τύπο Μ = R.σφφ , Ρ = ακτίνα της Γης, φ = γεωγραφικό πλάτος του παράλληλου επαφής (Σχ. 32α).

Η γωνία ανοίγματος σ του κώνου που εφάπτεται στη σφαίρα εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του παράλληλου επαφής, και υπολογίζεται από τον τύπο σ = 360° συν(90° - φ), (32β).

Από το κέντρο της Γης προβάλλονται οι μεσημβρινοί στην εσωτερική επιφάνεια του κώνου, και σχηματίζουν μεταξύ τους, στην προβολή, την ίδια γωνία.  Η γωνία αυτή δεν είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι μεσημβρινοί στη σφαίρα. Η γωνία των μεσημβρινών της σφαίρας συνδέεται με αυτή των μεσημβρινών στην προβολή, με την σχέση: α = ν.λ.  Όπου α = γωνία των μεσημβρινμών στην προβολή, λ = γωνία των μεσημβρινών στη σφαίρα και ν = συντελεστής που καθορίζεται από τη σχέση ν = συνδ0.  Όπου δ0 η συμπληρωματική γωνία του γεωγραφικού πλάτους του παράλληλου επαφής (Σχ. 32α).

Σχ. 32. α) Η κορυφή S τον κώνου, ο πόλος Π και το κέντρο της σφαίρας βρίσκονται στον ίδιο άξονα.
β) Η γωνία ανοίγματος σ  του κώνου είναι πάντοτε μικρότερη από 360°.

Αν κοπεί ο κώνος κατά μήκος ενός μεσημβρινού και αναπτυχθεί σε επίπεδο, τότε ο μανδύας του κώνου θα πάρει το σχήμα κυκλικού τομέα.  (Σχ. 32β).  Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως δέσμη ακτίνων και οι παράλληλοι ως τόξα ομόκεντρων κύκλων με κέντρο την κορυφή του κώνου (πόλος).  Οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων αυξάνουν όσο μεγαλώνει η απόστασή τους από τον παράλληλο επαφής (Σχ. 33α).  Κατά συνέπεια έχουμε παραμορφώσεις προς τις περιοχές των πόλων.  Αυτές οι παραμορφώσεις είναι η αιτία για το ότι, η προοπτική κωνική προβολή δεν έχει ιδιαίτερη πρακτική σημασία.

1. Γνήσιες κωνικές προβολές

Στις γνήσιες κωνικές προβολές οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως δέσμη ακτινών, και οι παράλληλοι κύκλοι ως τόξα ομόκεντρων κύκλων.  Οι τομές των παράλληλων και των μεσημβρινών δίνουν τραπέζια με βάσεις τόξα.

Σχ. 33. α) Προοπτική κωνική προβολή.
 β) Απλή κωνική προβολή. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).
 Μ = Η ακτίνα του παράλληλου επαφής από την κορυφή του κώνου,
φ = Γεωγραφικό πλάτος του παράλληλου επαφής.
S = Κορυφή του κώνου.

1.1. Απλή κωνική προβολή (Σχ. 33β και 34)

Στην προβολή αυτή ο κώνος εφάπτεται κατά μήκος ενός παράλληλου σφαίρας.  Για να αποφευχθούν οι παραμορφώσεις της αντίστοιχης Προοπτικής προβολής, ο κεντρικός μεσημβρινός Μ της προβαλόμενης περιοχής διαιρείται σε ίσα τμήματα.  Με τον ίδιο τρόπο διαιρείται και ο παράλληλος επαφής (Σχ. 33β).  Με κέντρο την κορυφή του κώνου S γράφουμε ομόκεντρα τόξα που περνούν από τα σημεία διαίρεσης του κεντρικού μεσημβρινού.  Οι παράλληλοι της σφαίρας αντιστοιχούν με τα τόξα στην προβολή.  Συνδέουμε στη συνέχεια την κορυφή του κώνου S με τα σημεία διαίρεσης του παράλληλου επαφής, οπότε παίρνουμε τους μεσημβρινούς.  Χαρακτηριστικό της προβολής αυτής είναι ότι ο πόλος δεν συμπίπτει με την κορυφή του κώνου, αλλά απεικονίζεται ως τόξο.

Η προβολή είναι ίσης απόστασης μόνον κατά μήκος των μεσημβρινών και του παράλληλου επαφής.  Δεν είναι ούτε ίσης έκτασης, ούτε ισογωνική.  Παρ' όλα αυτά χρησιμοποιείται για τη χαρτογράφηση τμημάτων περιοχών που δεν βρίσκονται κοντά στους πόλους (Σχ. 34β).

Σχ. 34. α) Απλή κωνική προβολή στην οποία ο κώνος θεωρείται ότι εφάπτεται κατά μήκος του 40ού παράλληλου.
β) Η Β. Αμερική σε απλή κωνική προβολή. Ο παράλληλος επαφής έχει Β.Γ.Π. 40°. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

1.2. Απλοποιημένη κωνική προβολή (Σχ. 35)

Η προβολή αυτή χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από το Γάλλο αστρονόμο J.N. de l’ Isle.  Αυτή προκύπτει από την παραδοχή ότι ο κώνος τέμνει τη γήινη σφαίρα σε δύο παράλληλους (Σχ. 35α).  Οι δύο αυτοί παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται με τα πραγματικά τους μήκη.  Οι υπόλοιποι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται όπως και στην απλή κωνική προβολή.  Οι δύο παράλληλοι τομείς διαιρούνται σε ίσα τόξα.  Η σύνδεση των σημείων διαίρεσης των δύο παράλληλων με ευθείες γραμμές δίνει τους μεσημβρινούς. Στην προβολή αυτή οι μεσημβρινοί συγκλίνουν περισσότερο μεταξύ τους, απ' ότι στην απλή κωνική προβολή (Σχ. 35β).  Η κατασκευή παγκόσμιων χαρτών 1:2.500.000, καθώς επίσης και η κατασκευή μεγάλου αριθμού χαρτών μικρής κλίμακας στη Σοβιετική Ένωση βασίζεται στην προβολή αυτή.  Στην απλοποιημένη κωνική προβολή οι μεσημβρινοί απεικονίζονται με τα πραγματικά τους μήκη.

Σχ. 35. α) Απλοποιημένη κωνική προβολή.  Ο κώνος τέμνει τη σφαίρα κατά μήκος τον 15ου και 70ού παράλληλου.
β) Το Β. ημισφαίριο σε απλοποιημένη κωνική προβολή. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975)

Σχ. 36. Κωνική ίσης έκτασης προβολή του Alber. Ο κώνος τέμνει τη σφαίρα στov 35o και 65ο Β. παράλληλο. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

1.3. Κωνική ίσης έκτασης προβολή του Alber (Σχ. 36).

Η αρχή της προβολής αυτής είναι ίδια με αυτή της απλοποιημένης κωνικής προβολής.  Η διαφορά της προβολής του Alber εντοπίζεται στο ότι, η απόσταση των παράλληλων τομής μεταξύ του κώνου και της γήινης σφαίρας είναι τέτοια, ώστε η επιφάνεια του κυκλικού τμήματος, που καθορίζεται απ' αυτούς στην προβολή, να είναι ίση με την αντίστοιχη σφαιρική ζώνη.

Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για την κατασκευή χαρτών της κεντρικής Ευρώπης, με κλίμακα 1:750.000 και για άτλαντες, κυρίως με κλίμακα 1:2.500.000 και 1:5.000.000.

1.4. Κωνική ίσης έκτασης προβολή του Lampert (Σχ. 37)

Στην προβολή αυτή η επιφάνεια του μανδύα του κώνου είναι ίση με την επιφάνεια του αντίστοιχου προβαλλόμενου τμήματος της σφαιρικής επιφάνειας.  Οι αποστάσεις των παράλληλων καθορίζονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε τα κυκλικά τμήματα μεταξύ των παράλληλων στην προβολή να έχουν το ίδιο εμβαδό με τις αντίστοιχες ζώνες στη σφαίρα.  Όπως φαίνεται και στο Σχ. 37, οι αποστάσεις των παράλληλων κύκλων μεγαλώνουν προς τους πόλους. Επίσης, στην προβολή αυτή ο πόλος απεικονίζεται ως σημείο.

Σχ. 37. Κωνική ίσης έκτασης προβολή τον Lampert (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

2. Μη γνήσιες κωνικές προβολές

Στις προβολές αυτές οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται ως τόξα ομόκεντρων κύκλων και οι μεσημβρινοί ως καμπύλες γραμμές, εκτός από τον κεντρικό μεσημβρινό που απεικονίζεται ως ευθεία γραμμή.

2.1. Προβολή του Bonne (Σχ. 38)

Στην προβολή του Bonne χαράζουμε πρώτα τον ευθύγραμμο κεντρικό μεσημβρινό και στη συνέχεια τον παράλληλο επαφής, του οποίου η ακτίνα καθορίζεται από τη σχέση Μ = R.σφφ.  Διαιρούμε μετά τον κεντρικό μεσημβρινό σε ίσα διαστήματα και στη συνέχεια φέρνουμε τους παράλληλους ως τόξα ομόκεντρων κύκλων που περνούν από τα σημεία διαίρεσης του κεντρικού μεσημβρινού.  Οι παράλληλοι διαιρούνται σε ίσα διαστήματα.  Η σύνδεση των σημείων διαίρεσης των παράλληλων δίνει τις καμπύλες των μεσημβρινών, οι οποίες στις περιοχές κοντά στους πόλους και στο κέντρο της προβολής είναι λιγότερο κεκαμένες απ' ότι στα μέσα γεωγραφικά πλάτη και στα περιθώρια της προβολής.  Με την προβολή αυτή προκύπτουν καρδιόσχημοι χάρτες ηπείρων.

Είναι προβολή ίσης έκτασης και χρησιμοποιείται κυρίως για την χαρτογράφηση των Ηπείρων Ασίας, Ευρώπης και Β. Αμερικής (Σχ. 38β).

Σχ. 38. α) Προβολή τον Bonne. Μ = ακτίνα τον παράλληλου επαφής.
β) Η Ευρασία σε προβολή του Bonne. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Σοβαρό μειονέκτημα της προβολής αυτής είναι ότι, η γωνία τομής μεταξύ των μεσημβρινών και παραλλήλων κύκλων, σε απόσταση μεγαλύτερη των 20° από τον κεντρικό μεσημβρινό, διαφέρει τόσο πολύ από την πραγματική, ώστε τα φύλλα χαρτών που αντιστοιχούν σε περιοχές των περιθωρίων της προβολής, να μην είναι προσανατολισμένα προς τον Βορρά. Δηλαδή, στα φύλλα αυτά η διεύθυνση του Βορρά δεν συμπίπτει με τα κατακόρυφα περιθώρια τους.

4.3.3.3. ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Στις κυλινδρικές προβολές, το δίκτυο των παράλληλων και μεσημβρινών της Γης προβάλλεται στην εσωτερική επιφάνεια ενός κυλίνδρου, που εφάπτεται ή τέμνει τη γήινη σφαίρα. Ο κύλινδρος τέμνεται κατά μήκος ενός μεσημβρινού ή του ισημερινού και αναπτύσσεται σε επίπεδο.

Οι προοπτικές κυλινδρικές προβολές (Σχ. 39), εξαιτίας της μεγάλης παραμόρφωσης της κλίμακας και της έκτασης, δεν έχουν ιδιαίτερη πρακτική σημασία.  Με γεωμετρικές όμως κατασκευές ή μαθηματικούς υπολογισμούς προκύπτουν προβολές (διαγράμματα) που χρησιμοποιούνται συχνά για την κατασκευή χαρτών.

Σχ. 39. Προοπτική κυλινδρική προβολή. Το κέντρο της προβολής βρίσκεται στο κέντρο της γήινης σφαίρας. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

1. Γνήσιες κυλινδρικές προβολές.

Ανάλογα με τη γραμμή επαφής κύλινδρου-σφαίρας, διακρίνονται σε κατακόρυφες και εγκάρσιες προβολές.

Τις κατακόρυφες προβολές τις συναντούμε συχνά σε χάρτες που απεικονίζουν συνήθως την ισημερινή ζώνη.  Από τις εγκάρσιες προβολές ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η Εγκάρσια Μερκατορική Κυλινδρική προβολή, γιατί με δεδομένα του ελλειψοειδούς χρησιμοποιείται πολύ συχνά στη Γεωδαισία.

1.1. Κατακόρυφες κυλινδρικές προβολές

Οι χαρακτηριστικές ιδιότητες των προβολών αυτών είναι:

α) Ο ισημερινός απεικονίζεται ως ευθεία γραμμή που διαιρείται συνήθως σε ίσα τμήματα.

β) Οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται ως παράλληλα προς τον ισημερινό ευθύγραμμα τμήματα.  Όλοι οι παράλληλοι κύκλοι, ακόμα και ο πόλος, έχουν το ίδιο μήκος με τον ισημερινό.  Οι αποστάσεις x των παράλληλων είναι συνάρτηση του γεωγραφικού τους πλάτους φ.

γ) Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ίσες μεταξύ τους και κάθετες προς τον ισημερινό παράλληλες γραμμές.  Οι αποστάσεις των μεσημβρινών από τον μεσημβρινό του Γκρήνουιτς είναι συνάρτηση του γεωγραφικού μήκους λ.

1.1.1. Ερατοσθενική κυλινδρική προβολή (Σχ. 40)

Είναι η απλούστερη κυλινδρική προβολή.  Ο κύλινδρος εφάπτεται στη σφαίρα κατά μήκος του ισημερινού.  Ο ισημερινός και οι μεσημβρινοί διαιρούνται σε ίσα τμήματα και απεικονίζονται με ακρίβεια.  Οι παράλληλοι απεικονίζονται ως παράλληλες προς τον ισημερινό γραμμές.  Τα σημεία τομής των παράλληλων και μεσημβρινών σχηματίζουν τετράγωνα, που δίνουν στην προβολή τη μορφή ενός τετραγωνισμένου φύλλου χαρτιού.

Σχ. 40. Παγκόσμιος χάρτης σε ερατοσθετινή κυλινδρική προβολή. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Στην προβολή αυτή απεικονίζονται σωστά η παραλληλότητα των παράλληλων κύκλων, η ισότητα των μεσημβρινών και η σε ορθή γωνία τομή των παράλληλων από τους μεσημβρινούς.  Δεν είναι σωστή η απεικονιζόμενη παραλληλότητα των μεσημβρινών και η ισότητα των παράλληλων.

Χάρτες που κατασκευάζονται με βάση την προβολή αυτή, μόνον στην ισημερινή ζώνη είναι ίσης έκτασης.  Στις περιοχές των πόλων εμφανίζονται σημαντικές παραμορφώσεις.  Να φανταστεί κανείς ότι ο πόλος απεικονίζεται ως γραμμή ίση με την αντίστοιχη του ισημερινού.  Δεν ενδείκνυται για την κατασκευή παγκόσμιων χαρτών.  Χρησιμοποιείται όμως για χάρτες περιοχών που βρίσκονται κοντά στην ισημερινό και για χάρτες μεγάλης κλίμακας.

1.1.2. Κυλινδρική ίσης έκτασης προβολή του Lambert

Ο κύλινδρος εφάπτεται στη σφαίρα κατά μήκος του ισημερινού.  Το κέντρο της προβολής (φωτεινή πηγή) βρίσκεται στο άπειρο και για το λόγο αυτό, οι παράλληλοι κύκλοι προβάλλονται ως παράλληλες γραμμές.  Οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων κύκλων ελαττώνονται προς το βόρειο και νότιο περιθώριο του χάρτη.

Η απόσταση των παράλληλων κύκλων από τον ισημερινό είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του γεωγραφικού τους πλάτους, δηλ. του ύψους h της σφαιρικής ζώνης (Σχ. 41α).  Η ιδιότητα της ίσης έκτασης της προβολής απαιτεί, η επιφάνεια μιας σφαιρικής ζώνης, από τον ισημερινό μέχρι γεωγραφικό πλάτος φ, να είναι ίση με την αντίστοιχη επιφάνεια στο χάρτη.  Το εμβαδό σφαιρικής ζώνης δίνεται από τον τύπο F = 2πh ή F = 2π ·ημφ, επειδή το h στον τριγωνομετρικό κύκλο είναι ίσο με το ημίτονο της γωνίας φ, (ημφ = h/1 ή ημφ = h), (Σχ. 41α).  Η αντίστοιχη επιφάνεια στο χάρτη απεικονίζεται με ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, του οποίου η πλευρά μήκους αντιστοιχεί με το μήκος του ισημερινού, που είναι 2π και η πλευρά πλάτους με το ύψος h.

Σχ. 41. Κυλινδρική, ίσης έκτασης, προβολή του Lambert.

Το εμβαδό της ζώνης μεταξύ δύο παράλληλων στην προβολή είναι ίσο με το εμβαδό της αντίστοιχης σφαιρικής ζώνης.  Επίσης, το εμβαδό του μανδύα του αναπτυσσόμενου κυλίνδρου είναι ίσο με το εμβαδό της επιφάνειας της γήινης σφαίρας.

Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για χαρτογραφήσεις τμημάτων της Γης μέχρι γεωγραφικού πλάτους 30°, επειδή σε μεγαλύτερα γεωγραφικά πλάτη οι παραμορφώσεις είναι μεγάλες (Σχ. 41 β).

1.1.3. Μερκατορική κυλινδρική προβολή (Σχ. 42)

Η προβολή αυτή χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Μερκάτορα το 1570, για την κατασκευή παγκόσμιων χαρτών, και μοιάζει με την ερατοσθενική προβολή.  Όλοι οι παράλληλοι κύκλοι έχουν το μήκος του ισημερινού.  Οι πόλοι δεν μπορούν να απεικονιστούν γιατί προβάλλονται στο ∞, και για το λόγο αυτό, σε Μερκατορικούς χάρτες, η επιφάνεια της Γης μπορεί να απεικονιστεί μέχρι γεωγραφικό πλάτος 85°.

Επειδή τα μήκη των παράλληλων κύκλων στη γήινη σφαίρα ελαττώνονται ανάλογα με το συνημίτονο του γεωγραφικού τους πλάτους, ενώ στη Μερκατορική προβολή απεικονίζονται όλοι ίσοι με τον ισημερινό, για να διατηρηθούν οι πραγματικές σχέσεις μεταξύ των παράλληλων και των μεσημβρινών, πρέπει οι αποστάσεις των παράλληλων κύκλων να αυξηθούν σε αντίστροφη σχέση του συνημίτονου του γεωγραφικού τους πλάτους φ, δηλ. σύμφωνα με την τεμφ = 1/συνφ. Για το λόγο αυτό η Μερκατορική προβολή είναι ισογωνική.

Σχ. 42. Χάρτης της Γης σε Μερκατορική κυλινδρική προβολή (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Το εμβαδό των επιφανειών των τμημάτων που καθορίζονται από την τομή των παράλληλων και μεσημβρινών αυξάνει στη δεύτερη δύναμη της τέμνουσας (τεμ2φ) του γεωγραφικού πλάτους φ των παραλλήλων, παρ' ότι οι αντίστοιχες επιφάνειες στη γήινη σφαίρα ελαττώνονται όσο απομακρυνόμαστε από τον ισημερινό.  Ενώ, π.χ., ένα τμήμα του δικτύου των παράλληλων και μεσημβρινών στη γήινη σφαίρα, σε γεωγραφικό πλάτος 60°, έχει το μισό εμβαδό του αντίστοιχου τμήματος στον ισημερινό, στη Μερκατορική προβολή η απεικονιζόμενη επιφάνεια σε γεωγραφικό πλάτος 60° είναι τέσσερες φορές μεγαλύτερη από την αντίστοιχη επιφάνεια στον ισημερινό.

Η πραγματική έκταση της Γροιλανδρίας είναι 2.106Km2, σε Μερκατορικούς όμως χάρτες φαίνεται ότι είναι 30.106Km2.

Οι Μερκατορικοί χάρτες δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για συγκρίσεις επιφανειών.  Μεγάλο πλεονέκτημα τους είναι η πιστότητα των γωνιών.  Η Λοξοδρόμος, η καμπύλη που τέμνει με την ίδια γωνία όλους τους μεσημβρινούς και διατρέχει τη γήινη επιφάνεια ως ελικοειδής γραμμή (Σχ. 43), στους Μερκατορικούς χάρτες απεικονίζεται ως ευθεία γραμμή.  Τα πλοία για μεγάλα ταξίδια χρησιμοποιούν τέτοιους χάρτες, γιατί η γραμμή πλεύσεως χαράσσεται εύκολα, σε αντίθεση με την Ορθδρόμο, που, όπως φαίνεται στο Σχ. 44, τέμνει τους μεσημβρινούς με διαφορετική γωνία.

Η Μερκατορική προβολή επικράτησε για αιώνες στη χαρτογραφία. Σήμερα χρησιμοποιείται στη ναυσιπλοΐα και αεροπλοΐα και για χάρτες ανέμων και θαλάσσιων ρευμάτων.

Σχ. 43. Πορεία της Λοξοδρόμου στην υδρόγειο σφαίρα.

Σχ. 44. Πορεία της Ορθοδρόμου και Λοξοδρόμου σε Μερκατορικό χάρτη.

1.2. Εγκάρσια Μερκατορική προβολή

Η προβολή αυτή προκύπτει αν φανταστούμε ότι, ο κύλινδρος εφάπτεται στη σφαίρα κατά μήκος ενός ζεύγους μεσημβρινών, και ο άξονας του είναι κάθετος προς τον άξονα της σφαίρας.  Το κέντρο της προβολής συμπίπτει με το κέντρο της σφαίρας.

Αν δεχτούμε ότι ο κύλινδρος τέμνεται κατά μήκος του ισημερινού και αναπτύσσεται σε επίπεδο, τότε η προβολή του ενός ημισφαίριου της Γης στον κύλινδρο απεικονίζεται όπως δείχνει το Σχ. 45.  Όπως φαίνεται και στο σχήμα, οι παραμορφώσεις αυξάνουν σημαντικά όσο απομακρυνόμαστε από το μεσημβρινό επαφής.

Τμήματα της σφαίρας που έχουν γεωγραφικό μήκος 90° Α και 90° Δ δεν μπορούν να απεικονιστούν στην προβολή.  Οι παραμορφώσεις είναι σχετικά μικρές 3° ανατολικά και δυτικά του κεντρικού μεσημβρινού.  Οι αποστάσεις κατά μήκος του μεσημβρινού επαφής παραμένουν αμετάβλητες.

Προκειμένου να περιοριστούν οι παραμορφώσεις σε αντεκτό όριο για τις χαρτογραφήσεις, θεωρούμε ότι ο κύλινδρος τέμνει τη γήινη σφαίρα σε ζώνες πλάτους 6°.  Έτσι ο κύλινδρος τέμνει την επιφάνεια της Γης σε δύο γραμμές που είναι παράλληλες προς τον κεντρικό μεσημβρινό της ζώνης (Σχ. 46).  Κατ' αυτόν τον τρόπο δεχόμαστε ότι μπορεί να προβληθεί με σχετικά μεγάλη ακρίβεια όλη η γήινη επιφάνεια, επειδή κάθε ζώνη των 6° προβάλλεται ξεχωριστά στην εσωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου.

Η Εγκάρσια Μερκατορική προβολή λέγεται και Παγκόσμια Εγκάρσια Μερκατορική ή Σύστημα U.T.M.  Έχει ιδιαίτερη σημασία γιατί επέτρεψε την επίτευξη ενός ενιαίου συστήματος τετραγωνισμού για ολόκληρη την επιφάνεια της Γης.  Από το 1948 χρησιμοποιείται για τη σύνταξη των στρατιωτικών χαρτών των κρατών μελών του NATO.

Σχ. 45. Το δίκτυο των παράλληλων και μεσημβρινών όπως φαίνεται σε ένα από τα δύο ημισφαίρια της Γης στην οριζόντια Μερκατορική προβολή.

Σχ. 46. Ο κύλινδρος τέμνει τη γήινη επιφάνεια σε ζώνες πλάτους 6°. Οι γραμμές που προκύπτουν από την τομή κύλινδρου-σφαίρας είναι παράλληλες προς τον κεντρικό μεσημβρινό της ζώνης. (Τοπογρ. Γ.Ε.Σ. 1966).

2. Μη γνήσιες κυλινδρικές προβολές

Επειδή καμία από τις γνήσιες κυλινδρικές προβολές δεν μπορεί να απεικονίσει με ακρίβεια όλη την επιφάνεια της Γης, έγινε προσπάθεια, από πολύ νωρίς, για την κατασκευή μη γνήσιων κυλινδρικών προβολών ίσης έκτασης.

Η διαφορά τους από τις γνήσιες βρίσκεται στο γεγονός ότι, μόνον ο κεντρικός μεσημβρινός είναι κάθετος σ' όλους τους παράλληλους κύκλους, οι οποίοι απεικονίζονται ως παράλληλες γραμμές.  Οι υπόλοιποι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως καμπύλες γραμμές που συγκλίνουν στους πόλους, ή ως τεθλασμένες ή καμπύλες γραμμές που τέμνουν την πολική γραμμή.  Όλοι οι μεσημβρινοί είναι μικρότεροι από τον απεικονιζόμενο ισημερινό.

Η σύγκλιση των μεσημβρινών προς τους πόλους επιτρέπει στις μη γνήσιες προβολές να απεικονίζουν τη Γη με το πραγματικό σχεδόν σχήμα της.  Οι μη γνήσιες προβολές χρησιμοποιούνται για την κατασκευή παγκοσμίων χαρτών και γενικά χαρτών πολύ μικρής κλίμακας.

2.1. Μερκατορική - Σανσονική προβολή (Σχ. 47)

Στην προβολή αυτή ο κεντρικός μεσημβρινός και οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται με τα πραγματικά τους μήκη, ως ευθείες γραμμές υπό κλίμακα.

Ο κεντρικός μεσημβρινός είναι κάθετος στο μέσο του ισημερινού, του οποίου το μήκος είναι διπλάσιο από το μήκος του κεντρικού μεσημβρινού.  Οι υπόλοιποι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ημιτονοειδείς καμπύλες οι οποίες συγκλίνουν προς τους πόλους (Σχ. 47α).

Σχ. 47. α) Μερκατορική - Σανσονική προβολή.
 β) Χάρτης της Γης σε Μερκατορική - Σανσονική προβολή. (Τροπο-ποιημένο από Wilhelmy 1975).

Ο κεντρικός μεσημβρινός διαιρείται σε ίσα τμήματα, τα οποία αντιστοιχούν στις αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων κύκλων.  Οι αποστάσεις των σημείων τομής μεταξύ των μεσημβρινών και παράλληλων υπολογίζονται από τη σχέση: Ψ = λ·συνφ.  Όπου λ, το γεωγραφικό μήκος του μεσημβρινού και όπου φ, το γεωγραφικό πλάτος του παράλληλου που τέμνει ο μεσημβρινός.

Η προβολή είναι ίσης έκτασης, επειδή οι αποστάσεις των παράλληλων κύκλων είναι σταθερές, και χρησιμοποιείται για τη χαρτογράφηση τμημάτων της ισημερινής ζώνης της Γης.  Δεν είναι κατάλληλη για την κατασκευή παγκόσμιων χαρτών, εξαιτίας της μεγάλης παραμόρφωσης που παρατηρείται κυρίως στις πολικές ζώνες (Σχ. 47β).

2.2. Προβολή του Mollweide (Σχ. 48)

Προϋπόθεση για την κατασκευή αυτής της προβολής είναι, το ένα ημισφαίριο της γήινης σφαίρας να αποδοθεί με μία κυκλική επιφάνεια, η οποία να έχει το ίδιο εμβαδό (Σχ. 48α).

Οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται ως ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον ισημερινό.  Οι αποστάσεις τους καθορίζονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε το εμβαδό της ζώνης μεταξύ δύο παράλληλων κύκλων να είναι ίσο με το εμβαδό της αντίστοιχης σφαιρικής ζώνης.  Ο μαθηματικός υπολογισμός των αποστάσεων των παράλληλων από τον ισημερινό είναι πολύπλοκος και δίνεται από τον πίνακα 3.

Οι γραμμές των παράλληλων διαιρούνται σε ίσα τμήματα ανάλογα με τον αριθμό των μεσημβρινών που πρόκειται να σχεδιαστούν στην προβολή. Τα σημεία διαίρεσης των παράλληλων κύκλων συνδέονται, στη συνέχεια,

Σχ. 48. α) Προβολή του Mollweide. Ο κύκλος που καθορίζεται με έντονη γραμμή, έχει εμβαδό ίσο με το αντίστοιχο ημισφαίριο της Γης.
  β) Χάρτης της Γης σε προβολή του Wollweide. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

κατά τη μεσημβρινή διεύθυνση.  Οι γραμμές σύνδεσης σχηματίζουν ελλείψεις που αντιστοιχούν στους μεσημβρινούς.  Οι ελλείψεις σε αντίθεση προς το περιθώριο του χάρτη είναι πολύ κεκαμένες.  Αποτέλεσμα όλης αυτής της διαδικασίας είναι η παράσταση του ενός ημισφαίριου της Γης, σε κύκλο.

Στη συνέχεια, οι γραμμές των παράλληλων προεκτείνονται, ανατολικά και δυτικά του κύκλου, και διαιρούνται επίσης σε ίσα τμήματα.  Η σύνδεση των σημείων διαίρεσης των προεκτάσεων των παράλληλων δίνει ελλείψεις, που αντιστοιχούν στους μεσημβρινούς ίου άλλου ημισφαίριου της Γης.  Οι οριακοί μεσημβρινοί δίνουν στην προβολή ελλειπτική μορφή (Σχ. 48β).

Πίνακας 3.

 Αποστάσεις των παράλληλων κύκλων από τον ισημερινό στην προβολή του Mollweide.

Γεωγρ. πλάτος	Αποστάσεις των παράλληλων από τον ισημερινό	Γεωγρ. πλάτος	Αποστάσεις των παράλληλων από τον ισημερινό
0°	0,000	45°	0,592
5°	0,069	50°	0,651
10°	0,137	55°	0,708
15°	0,205	60°	0,762
20°	0,272	65°	0,814
25°	0,334	70°	0,862
30°	0,404	75°	0,906
35°	0,468	80°	0,945
40°	0,531	85°	0,978
		90°	1,000

Και σ' αυτή την προβολή, το μήκος του ισημερινού είναι διπλάσιο από το μήκος του κεντρικού μεσημβρινού.

Η προβολή είναι ίσης έκτασης, ο μεγάλος όμως βαθμός παραμόρφωσης στο περιθώριο της προβολής καταστρέφει το πραγματικό σχήμα των ηπείρων (Σχ. 48β).

Η προβολή του Mallweide χρησιμοποιείται για τη χαρτογράφηση της Ευρώπης και για τους χάρτες ημισφαίριων.

2.3. Προβολές του Eckert (Σχ. 49)

Οι παραμορφώσεις που παρατηρούνται στα άκρα της Μερκατορικής-Σανσονικής και της προβολής του Mollweide ώθησαν τον Eckert να κατασκευάσει 6 προβολές, οι οποίες επιτρέπουν την απεικόνιση τμημάτων της γήινης επιφάνειας με μεγάλα γεωγραφικά πλάτη χωρίς παραμορφώσεις. Σε όλες τις προβολές του Eckert, οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται ως παράλληλες γραμμές, οι πόλοι ως ευθείες γραμμές που το μήκος τους είναι ίσο με το μισό του ισημερινού, και το μήκος του κεντρικού μεσημβρινού είναι ίσο με το μήκος των πολικών γραμμών (Σχ. 49α).

Σχ. 49. β) Η 5η και 6η προβολή του Eckert. Οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ημιτονοειδείς καμπύλες, (Η. Wilhelmy 1975).

Όλες, επίσης, οι προβολές του Eckert είναι ίσης έκτασης στη συνολική τους επιφάνεια.  Ορισμένες απ' αυτές είναι ίσης έκτασης και στις ζώνες που καθορίζονται από τις γραμμές των παράλληλων κύκλων, αλλά καμία δεν είναι ίσης έκτασης στα τμήματα που καθορίζονται από τα σημεία τομής των παράλληλων και μεσημβρινών.

Οι προβολές του Eckert ξεχωρίζουν μεταξύ τους από τη μορφή των μεσημβρινών.  Στην 1η και 2η οι μεσημβρινοί είναι ευθύγραμμοι, αλλά στον ισημερινό σχηματίζουν γωνία και δίνουν στις προβολές αυτές τη μορφή του τραπεζίου.  Στην 3η και 4η οι μεσημβρινοί είναι ελλείψεις, ενώ στην 5η και 6η οι μεσημβρινοί είναι ημιτονοειδείς καμπύλες, που συγκλίνουν προς τους πόλους (Σχ. 49β).

Η 6η προβολή του Eckert χρησιμοποιείται για την κατασκευή παγκόσμιων χαρτών, γιατί σε μεγάλα γεωγραφικά πλάτη παρουσιάζει ασήμαντες παραμορφώσεις, σε αντίθεση με τη Μερκατορική - Σανσονική και προβολή του Mollweide.

2.4. Προβολή του Winkel (Σχ. 50)

Κύριο γνώρισμα της προβολής είναι ότι οι πόλοι απεικονίζονται ως ευθείες γραμμές, των οποίων το μήκος είναι ίσο ή μικρότερο από το μισό του ισημερινού.

Οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται ως ελαφρά κεκαμένες παράλληλες γραμμές, και οι μεσημβρινοί ως ελλείψεις.  Η μικρή κάμψη των παράλληλων κύκλων δίνει στο δίκτυο των παράλληλων και μεσημβρινών της προβολής μια εικόνα, όμοια με αυτή της υδρόγειου σφαίρας.

Σχ. 50. Χάρτης της Γης σε προβολή του Winkel. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Οι παραμορφώσεις στο περιθώριο της προβολής είναι πολύ μικρότερες σε σχέση με τις αντίστοιχες μη γνήσιες κυλινδρικές προβολές, γι' αυτό και χρησιμοποιείται για την κατασκευή παγκόσμιων χαρτών.

Η προβολή αυτή δεν ανήκει στις μη γνήσιες κυλινδρικές προβολές, αλλά προέκυψε από συνδυασμό δύο διαφορετικών προβολών.

3. Πολυπολικές προβολές

3.1. Ίσης έκτασης προβολή του Goode

Τροποποιήσεις στη Μερκατορική - Σανσονική και στην προβολή του Mollweide οδήγησαν στην ίσης έκτασης προβολή του Goode (Σχ. 51).  Για να αποφευχθούν στην προβολή αυτή οι περιφερειακές παραμορφώσεις των προβολών που προαναφέραμε, θεωρείται ότι η υδρόγειος τέμνεται κατά μήκος ορισμένων μεσημβρινών που διέρχονται από τους ωκεανούς, και ότι κάθε επιμέρους τμήμα έχει ιδιαίτερο κεντρικό μεσημβρινό.

Αποτέλεσμα αυτής της κατάτμησης είναι να παίρνουν οι χάρτες, που κατασκευάζονται μ' αυτή την προβολή, ένα ιδιόμορφο σχήμα.

Μέθοδοι κατάτμησης των μη γνήσιων κυλινδρικών προβολών χρησιμοποιούνται συχνά στην Αμερική, παρ' ότι με τις κατατμήσεις δεν προκύπτουν κανονικά σχήματα και δεν γίνονται εύκολα μετρήσεις και συγκρίσεις.

Η προβολή του Goode χρησιμοποιείται, εφ' όσον οι περιοχές που τέμνονται (ωκεανοί) δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία για το σκοπό που πρόκειται να χρησιμοποιηθεί ο χάρτης.

Σχ. 51. Χάρτης της Γης σε ίσης έκτασης προβολή του Goode. (Τροποποιημένο από Wilhelmy 1975).

Σχ. 52. Χάρτης σε σχήμα πεταλούδας που απεικονίζει τον ενιαίο ωκεανό με κέντρο το Ν. Πόλο. Ο ωκεανός απεικονίζεται από το μη στικτό τμήμα τον χάρτη. (Η. Wilhelmy 1975).

3.2. Προβολή του Bartholomews

Τελευταία κατασκευάζονται πολυπολικοί χάρτες που δεν βασίζονται στην αρχή των κυλινδρικών προβολών, αλλά ο ένας πόλος τοποθετείται στο κέντρο του χάρτη και οι άλλοι σε ορισμένα σημεία και σε τέτοια θέση, ώστε ο χάρτης να παίρνει το σχήμα πεταλούδας ή άνθους (Σχ. 52).

4.3.3.4.   ΕΙΔΙΚΕΣ   ΠΡΟΒΟΛΕΣ   ΓΙΑ   ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥΣ ΧΑΡΤΕΣ

Η κατασκευή σύγχρονων τοπογραφικών χαρτών μεγάλης κλίμακας σπάνια βασίζεται σε προβολές με την έννοια που περιγράψαμε ως τώρα.  Η σύνταξη κάθε φύλλου χάρτη βασίζεται σε ανεξάρτητη προβολή, με ειδικά σημεία επαφής ή με ειδικές γραμμές επαφής.

1. Πολυεδρική προβολή (Σχ. 53)

Στην προβολή αυτή, το τμήμα του δικτύου των παράλληλων και μεσημβρινών κάθε φύλλου χάρτη απεικονίζεται ως τραπέζιο (Σχ. 53α).  Η γήινη επιφάνεια θεωρείται ότι ακουμπά στις κορυφές των γωνιών του τραπεζίου.  Το επίπεδο του τραπεζίου είναι και επίπεδο προβολής, και κατά συνέπεια το επίπεδο του χάρτη βρίσκεται κάτω από τη σφαιρική επιφάνεια της Γης.

Σχ. 53. α) Σχηματική παράσταση μεταφοράς της σφαιρικής επιφάνειας σε πολύεδρο. (Wilhelmy 1975)
β) Τα φύλλα των χαρτών που κατασκευάζονται με βάση την πολυε-δρική προβολή αφήνουν διάκενα μεταξύ τους.

Στην πολυεδρική προβολή αντικαθίσταται η σφαιρική επιφάνεια της Γης μ' ένα πολύεδρο, του οποίου η κάθε έδρα έχει σχήμα τραπεζίου.  Αν τα μεμονωμένα φύλλα χαρτών τοποθετηθούν σε επίπεδο, τότε θα αφήσουν μεταξύ τους διάκενα κατά την έννοια του γεωγραφικού μήκους ή πλάτους, εξαιτίας του σχήματος τους (τραπέζια), (Σχ. 53β).

Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται για την κατασκευή τοπογραφικών χαρτών μεγάλης κλίμακας.  Επειδή η επιφάνεια που καλύπτει κάθε φύλλο χάρτη, συγκριτικά με την συνολική επιφάνεια της Γης, είναι πολύ μικρή, οι παραμορφώσεις πρακτικά είναι ασήμαντες.

2. Πολυκωνική προβολή (Σχ. 54)

Η προβολή αυτή προκύπτει αν δεχτούμε ότι ζώνες της γήινης σφαίρας, με διαφορετικό γεωγραφικό πλάτος, προβάλλονται σε κώνους με διαφορετική γωνία κορυφής, οι οποίοι εφάπτονται στις ζώνες (Σχ. 54α).  Οι κορυφές όλων των κώνων βρίσκονται στην προέκταση του άξονα της Γης και σε διαφορετική απόσταση από τον πόλο.

Αν κόψουμε τις ζώνες των κωνικών επιφανειών όπου έχουν προβληθεί οι αντίστοιχες σφαιρικές ζώνες, τις αναπτύξουμε σε επίπεδο και στη συνέχεια προσπαθήσουμε να τις ενώσουμε μεταξύ τους, θα πάρουμε την εικόνα του Σχ. 54β.

Σχ. 54. α) Προβολή των σφαιρικών ζωνών σε κώνους με διαφορετική γωνία ανοίγματος. (Σωτηριάδης-Ψιλοβίκος 1976).
β) Μεταξύ των ζωνών των παράλληλων κύκλων στην πολυκωνική προβολή υπάρχουν διάκενα.

Κάθε ζώνη της προβολής ανήκει σε ζώνη ενός παράλληλου επαφής,  και για το λόγο αυτό οι σφαιρικές ζώνες της Γης απεικονίζονται με τις πραγματικές τους διαστάσεις.

Οι μεμονωμένες ζώνες στην περιοχή του κεντρικού μεσημβρινού μιας περιοχής εφάπτονται μεταξύ τους.  Όσο απομακρυνόμαστε απ' αυτόν, μεγαλώνουν τα μεταξύ τους διάκενα.  Η συνένωση των ζωνών σε επίπεδο χω-ρίς ενδιάμεσα κενά είναι αδύνατη, γιατί ο παράλληλος επαφής κάθε κωνικής ζώνης έχει διαφορετικό κέντρο και διαφορετική ακτίνα από τους αντίστοιχους παράλληλους των άλλων ζωνών.

Η πολυκώνικη προβολή χρησιμοποιείται από το 1856 για τους επίσημους χάρτες της Αγγλίας και των Η.Π.Α.  Επίσης, σε τροποποιημένη πολυκωνική προβολή βασίζεται και η κατασκευή παγκόσμιων χαρτών 1:1.000.000.

4.3.3.5. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

Οι γεωδαιτικές προβολές εξελίχθηκαν ιδιαίτερα τον 19ο αιώνα, κατά τη διάρκεια του οποίου έγιναν ακριβείς μετρήσεις της γήινης επιφάνειας, και διαφέρουν από τις κλασσικές προβολές που περιγράψαμε ως τώρα, στα εξής χαρακτηριστικά σημεία:

α) Οι προβολές αυτές χρησιμοποιούνται για την κατασκευή χαρτών μεγάλης και μεσαίας κλίμακας, ενώ οι κλασσικές προβολές χρησιμοποιούνται σχεδόν αποκλειστικά για την κατασκευή χαρτών μικρής κλίμακας.

β) Στις γεωδαιτικές προβολές η Γη θεωρείται ως ελλειψοειδές, ενώ στις κλασσικές ως σφαίρα.

γ) Στις κλασσικές προβολές χρησιμοποιούνται οι γεωγραφικές συντεταγμένες, ενώ στις γεωδαιτικές οι ορθογώνιες επίπεδες συντεταγμένες, με τις οποίες ορίζεται η ακριβής θέση κάθε σημείου στο ελλειψοειδές της Γης.

δ) Στις γεωδαιτικές προβολές δεν αρκεί μόνον η επίπεδη γραφική απεικόνιση των παράλληλων και των μεσημβρινών, αλλά απαιτείται και η αναγραφή χαρακτηριστικών αριθμών ή γραμμάτων.

Σ' αυτές ανήκει και η εγκάρσια μερκατορική προβολή, που περιγράψαμε στο κεφάλαιο των προβολών.

1. Παγκόσμιο εγκάρσιο μερκατορικό σύστημα, ή Σύστημα U.T.M.

Ως σύστημα U.T.M. χαρακτηρίζεται η παγκόσμια εγκάρσια μερκατο-ρική προβολή (Universal Transversal Mercatorprojection).   Η προβολή αυτή χρησιμοποιείται από το στρατό των Η.Π.Α, και του Ν.Α.Τ.Ο., αλλά από το 1951 καθιερώθηκε και από τη Διεθνή Γεωδαιτική Ένωση, γιατί επιτρέπει την επίτευξη ενός ενιαίου τετραγωνισμού ολόκληρης σχεδόν της υδρόγειου.

Το σύστημα U.T.M., που βασίζεται στο διεθνές ελλειψοειδές, καλύπτει την επιφάνεια της Γης από το νότιο παράλληλο 80° μέχρι το βόρειο 80°, με μεσημβρινές ζώνες των 6°.

Όπως αναφέρουμε και στο κεφάλαιο των προβολών, ο κύλινδρος τέμνει το γήινο ελλειψοειδές σε δύο γραμμές, οι οποίες είναι παράλληλες προς τον κεντρικό μεσημβρινό κάθε ζώνης των 6°.  Ο κύλινδρος τέμνει το ελλειψοειδές έτσι ώστε η μία γραμμή να βρίσκεται 180 Km δυτικά και η άλλη 180 Km ανατολικά από τον κεντρικό μεσημβρινό της ζώνης.

Ως αρχή των αξόνων, για τη χάραξη των γραμμών τετραγωνισμού, θεωρείται η τομή του κεντρικού μεσημβρινού κάθε ζώνης με τον ισημερινό.  Για να αποφευχθεί η χρησιμοποίηση τετμημένων με αρνητικές τιμές, δίνεται στην αρχή των αξόνων η τιμή x = 500 Km, ώστε η δυτική γραμμή κάθε ζώνης να έχει τιμή 320 Km (500 - 180 Km) και η ανατολική 680 Km (500 + 180 Km) (Σχ. 55).

Στην αρχή των αξόνων κάθε ζώνης των 6°, η τιμή των τεταγμένων είναι Ψ = 0 για τις περιοχές που βρίσκονται στο βόρειο ημισφαίριο, ενώ για τις περιοχές του νότιου ημισφαίριου η αρχή των αξόνων έχει τιμή ίση με 10.000 Km (Σχ. 55).  Έτσι, αποφεύγεται η χρησιμοποίηση αρνητικών τεταγμένων για τις περιοχές του νότιου ημισφαίριου.

Με την εγκάρσια μερκατορική προβολή, το διεθνές ελλειψοειδές διαιρείται σε 60 μεσημβρινές ζώνες των 6° κατά την έννοια του γεωγραφικού μήκους μεταξύ των παραλλήλων 80° Β και 80° Ν.

Οι κεντρικοί μεσημβρινοί των ζωνών αντιστοιχούν στις 3°, 9°, 12°, 24°, 27° κ.λπ., με ανατολικό ή δυτικό γεωγραφικό μήκος.  Η αρίθμηση των ζωνών αρχίζει από τον δυτικό μεσημβρινό με 177° Γ.Μ.  Η ζώνη 3° με Α.Γ.Μ. έχει τον αριθμό 31, η ζώνη με 177° Δ.Γ.Μ. τον αριθμό 1, η ζώνη με 177° Α.Γ.Μ. τον αριθμό 60 κ.λπ.

Με αρχή το νότιο παράλληλο 80°, κάθε μεσημβρινή ζώνη χωρίζεται σε οριζόντιες ζώνες των 8°.  Κάθε μία απ' αυτές χαρακτηρίζεται με ένα μεγάλο γράμμα του λατινικού αλφάβητου.  Έτσι, προκύπτουν τραπέζια 6° Χ 8°.  Κάθε τραπέζιο, που χαρακτηρίζεται και ως ζώνη τετραγωνισμού, ορίζεται από έναν

Σχ. 55. Τμήμα μεσημβρινής ζώνης των 6°. Ως αρχή των αξόνων για την χάραξη των γραμμών τετραγωνισμού θεωρείται η τομή του κεντρικού μεσημβρινού της ζώνης με τον ισημερινό.

αριθμό (όχι μεγαλύτερο από 60) και ένα λατινικό γράμμα. π.χ. 34 S, 35 Τ, κ.λπ. (Σχ. 56).

Στη συνέχεια, κάθε ζώνη τετραγωνισμού διαιρείται με κατακόρυφες και οριζόντιες γραμμές σε τετράγωνα με πλευρά 100 Km, που χαρακτηρίζονται με δύο γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, π.χ. CD, CP κ.λπ. (Σχ. 56).

Με δύο γράμματα χαρακτηρίζονται και τα μη πλήρη τετράγωνα των γειτονικών τραπεζίων.

Επειδή με τα ίδια γράμματα του λατινικού αλφάβητου χαρακτηρίζονται περισσότερα από ένα τετράγωνα των 100 Km στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, επιβάλλεται η αναγραφή της ζώνης τετραγωνισμού, πριν από την αναγραφή των γραμμάτων των τετραγώνων των 100 Km, π.χ. 34 S DB.

Ο ακριβής καθορισμός σημείων που βρίσκονται μέσα σ' ένα τετράγωνο γίνεται με τη βοήθεια των ορθογώνιων συντεταγμένων.

Σχ. 56. Σύστημα τετραγωνισμού. 34 S, 34 Τ, 35 S, 35 Τ είναι τα τραπέζια 6°Χ8° στα οποία περιέχεται και η έκταση της Ελλάδας. ΒΑ, CC, QT, κ.λπ. είναι τετράγωνα με πλευρά 100 Km.

Μ' αυτό τον τρόπο προέκυψε η κατασκευή ενός διεθνούς δικτύου αναφοράς, με το οποίο είναι δυνατός ο καθορισμός αποστάσεων σημείων της επιφάνειας της Γης σε Km ή m, κάτι που δεν μπορεί να επιτευχθεί με τις γεωγραφικές συντεταγμένες.

2. Το σύστημα U.P.S.

Ως συμπλήρωμα του συστήματος U.T.M. χρησιμοποιείται για τις πολικές περιοχές, με γεωγραφικό πλάτος μεγαλύτερο από 80°, η παγκόσμια πολική στερεογραφική προβολή, ή το σύστημα U.P.S. (Universal Polar Ste-reographic Projection).  Χαρακτηρίζεται από ένα δίκτυο αναφοράς, η κατασκευή του οποίου βασίζεται επίσης σε δεδομένα του διεθνούς ελλειψοειδούς.

Οι ανατολικές ευρωπαϊκές χώρες και η Ανατολική Γερμανία χρησιμοποιούν για χάρτες μεσαίας κλίμακας μεσημβρινές ζώνες των 6°, με βάση τα δεδομένα του ελλειψοειδούς του Krasssowski (βλ. σελ. 24).  Για χάρτες 1:5.000 και μεγαλύτερης κλίμακας, χρησιμοποιούνται μεσημβρινές ζώνες των 3°.

3. Βορράς Τετραγωνισμού, Μαγνητικός Βορράς, Αζιμούθια.

Η διεύθυνση των κατακόρυφων γραμμών του συστήματος τετραγωνισμού χαρακτηρίζεται ως διεύθυνση του Βορρά Τετραγωνισμού (Β.Τ.).  Σε κάθε μεσημβρινή ζώνη των 6°, μόνον η διεύθυνση του κεντρικού μεσημβρινού της συμπίπτει με την αντίστοιχη του Γεωγραφικού Βορρά (Γ.Β.).  Για οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται ανατολικά ή δυτικά του κεντρικού μεσημβρινού, η διεύθυνση του Β.Τ. αποκλίνει από την αντίστοιχη του Γ.Β. και σχηματίζει γωνία γ, η οποία λέγεται Απόκλιση Τετραγωνισμού.  Η απόκλιση αυτή είναι θετική ( + γ), εφ' όσον ο Β.Τ. βρίσκεται ανατολικά του Γ.Β. και αρνητική ( - γ), εφ' όσον βρίσκεται δυτικά (σχ. 57).

Η τιμή της απόκλισης τετραγωνισμού γ, σε ένα καθορισμένο σημείο, εξαρτάται από τη διαφορά του γεωγραφικού μήκους λ του σημείου και του κεντρικού μεσημβρινού της ζώνης, και από το γεωγραφικό πλάτος του σημείου.  Η τιμή της απόκλισης δίνεται από τη σχέση γ = λημφ.

Είναι γνωστό ότι η μαγνητική βελόνα της πυξίδας προσανατολίζεται πάντοτε παράλληλα προς τη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών του μαγνητικού πεδίου της Γης.  Ο ένας πόλος της βελόνας της μαγνητικής πυξίδας δείχνει πάντοτε τη διεύθυνση του Μαγνητικού Βορρά (Μ.Β.), η οποία δε συμπίπτει με την αντίστοιχη του Γ.Β., αλλά σχηματίζει γωνία α η οποία χαρακτηρίζεται ως Μαγνητική Απόκλιση.

Η μαγνητική απόκλιση χαρακτηρίζεται ως ανατολική ( + α) ή δυτική         ( - α).  Ανατολική λέγεται εφ' όσον η διεύθυνση του Μ.Β. βρίσκεται δεξιά από την αντίστοιχη διεύθυνση του Γ.Β., και δυτική εφ' όσον βρίσκεται αριστερά (σχ. 57).

Σχ. 57. Γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ των διευθύνσεων του Γ.Β. του Β.Τ. και Μ.Β.   γ = Απόκλιση τετραγωνισμού, α = Μαγνητική απόκλιση.

Επειδή είναι γνωστό, επίσης, ότι η θέση του Μ.Β. δεν είναι σταθερή, η τιμή της μαγνητικής απόκλισης ενός σημείου της επιφάνειας της Γης δεν παραμένει σταθερή, αλλά μεταβάλλεται με το χρόνο.  Η ετήσια μεταβολή της μαγνητικής απόκλισης θεωρείται για την Ελλάδα ίση με 5' ανατολική, που σημαίνει ότι, αν π.χ. για τη Θεσ/νίκη η μαγνητική απόκλιση το 1984 είναι 1° ανατολική, το 1985 θα γίνει 1° και 5' ανατολική (σχ. 58).

Ο προσανατολισμός στην ύπαιθρο ή ο προσανατολισμός του χάρτη μπορεί να γίνει σε σχέση με τον Γεωγραφικό ή Μαγνητικό Βορρά.

Ο προσδιορισμός του Γ.Β., όπως προαναφέραμε, μπορεί να γίνει με απλά αστρονομικά μέσα.  Επειδή όμως ένας τέτοιος προσδιορισμός είναι χρονοβόρος και απαιτεί ορισμένες προϋποθέσεις, ως σημείο αναφοράς χρησιμοποιείται ο Μ.Β.  Η διεύθυνση του Μ.Β. προσδιορίζεται οποιαδήποτε στιγμή από τη διεύθυνση της μαγνητικής βελόνας της πυξίδας.

Σχ. 58. Η ετήσια μεταβολή της μαγνητικής αποκλίσεως για την Ελλάδα θεωρείται ίση με 5' ανατολικά.

Στο περιθώριο ειδικών χαρτών, (π.χ. στρατιωτικών, που φέρουν τις γραμμές του συστήματος τετραγωνισμού), σχεδιάζονται οι γωνίες που σχηματίζονται από τις διευθύνσεις του Γ.Β., Μ.Β. και Β.Τ.  Οι τιμές των γωνιών αυτών ισχύουν για το κέντρο του χάρτη.  Με τη βοήθεια του δια-γράμμματος αυτού είναι εύκολο να προσδιοριστούν από τη διεύθυνση του Μ.Β., οι διευθύνσεις του Γ.Β. και Β.Τ.

Ως προς τα τρία σημεία αναφοράς που ορίσαμε μέχρι τώρα, μπορεί να προσδιοριστεί και η διεύθυνση ΑΒ δύο τυχαίων σημείων της επιφάνειας της Γης.

Σχ. 59. Οι σχηματιζόμενες γωνίες μεταξύ των διευθύνσεων του Γ.Β., Μ.Β και Β. Τ. και τα αντίστοιχα αζιμούθια της διεύθυνσης ΑΒ.

Η δεξιόστροφη γωνία που σχηματίζεται από τη διεύθυνση ΑΒ και τη διεύθυνση του Β.Τ. λέγεται Αζιμούθιο Τετραγωνισμού ή Διάβημα (Δ/Θ). Γεωγραφικό Αζιμούθιο, (Γ.ΑΖ), λέγεται επίσης η δεξιόστροφη γωνία που σχηματίζεται από την ΑΒ και τον Γ.Β.

Τέλος, Μαγνητικό Αζιμούθιο (Μ.ΑΖ) είναι η γωνία που σχηματίζεται από τον Μ.Β. και την ΑΒ (σχ. 59).

Οι τιμές των αζιμούθιων με τον πάροδο του χρόνου παραμένουν σταθερές, εκτός από το μαγνητικό αζιμούθιο επειδή η θέση του Μ.Β. δεν είναι σταθερή.  Η μέτρηση αζιμούθιων στο χάρτη μπορεί να γίνει με μοιρογνωμόνιο, ενώ στην ύπαιθρο η μέτρηση του μαγνητικού αζιμούθιου γίνεται με την πυξίδα.

4.3.3.6. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ

1. Οι παράλληλοι κύκλοι είναι ευθείες γραμμές

Ι.          Εφ' όσον οι παράλληλοι κύκλοι και οι μεσημβρινοί είναι παράλληλες γραμμές, ο πόλος σχηματίζει γραμμή του ίδιου μήκους με τον ισημερινό, οι αποστάσεις των μεσημβρινών παραμένουν σταθερές και τα περιθώρια των χαρτών συμπίπτουν με το δίκτυο των παράλληλων και των μεσημβρινών, τότε πρόκειται για γνήσια κυλινδρική προβολή.

α) Αν το δίκτυο των παράλληλων και μεσημβρινών σχηματίζει τετράγωνα, πρόκειται για την ίσης απόστασης κυλινδρική προβολή.

β) Αν η απόσταση των παράλληλων κύκλων αυξάνει προς τους πόλους, πρόκειται για Μερκατορική προβολή.

γ) Αν η απόσταση των παράλληλων κύκλων ελαττώνεται προς τους πόλους, πρόκειται για την ίσης έκτασης κυλινδρική προβολή.

ΙΙ.         Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι παράλληλες γραμμές οι μεσημβρινοί συγκλίνουν προς τους πόλους, και το δίκτυο των παράλληλων και μεσημβρινών καθορίζει την τραπεζοειδή μορφή των χαρτών, πρόκειται για πολυεδρική προβολή.

III.       Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι παράλληλες γραμμές που τέμνονται κάθετα από τον κεντρικό μεσημβρινό, και οι υπόλοιποι μεσημβρινοί είναι καμπύλες γραμμές που συνενώνονται στους πόλους, τότε πρόκειται για μη γνήσια κυλινδρική προβολή.

α) Εφ' όσον οι αποστάσεις των παράλληλων κύκλων είναι ίσες και οι μεσημβρινοί, εκτός από τον κεντρικό μεσημβρινό, είναι ημιτονοειδείς καμπύλες, πρόκειται για την Μερκατορική - Σανσονική προβολή.

β) Εάν οι αποστάσεις των παράλληλων μικραίνουν προς τους πόλους, παράλληλοι κύκλοι διαιρούνται σε ίσα τμήματα, ή οι μεσημβρινοί, ε-κτός από τον κεντρικό, είναι ελλείψεις και το σχήμα του χάρτη oval, πρόκειται για προβολή του Mollweide.

IV.       Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι παράλληλες γραμμές που τέμνονται από τον κεντρικό μεσημβρινό, οι υπόλοιποι μεσημβρινοί είναι καμπύλες που συνενώνονται στους πόλους, οι αποστάσεις των παράλληλων μικραίνουν προς τους πόλους και το σχήμα των χαρτών είναι κυκλικό, τότε πρόκειται για την ισημερινή ορθογραφική προβολή.

V.        Αν οι παράλληλοι είναι παράλληλες γραμμές που τέμνονται κάθετα από τον κεντρικό μεσημβρινό, οι υπόλοιποι μεσημβρινοί είναι κεκαμένες γραμμές ή καμπύλες, τότε η προβολή αυτή είναι του Eckert.

VI.       Εφ' όσον ο χάρτης είναι συνενωμένος μόνον στην περιοχή του ισημερινού, ενώ κατά μήκος των ωκεανών είναι διακεκομμένος, τότε πρόκειται για την ίσης έκτασης προβολή του Goode.

2. Οι παράλληλοι κύκλοι είναι καμπύλες

Ι.          Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι ομόκεντρα τόξα κύκλων και οι μεσημβρινοί σχηματίζουν δέσμη ακτινών, η προβολή αυτή θα είναι γνήσια κωνική.

α) Εφ' όσον τα ομόκεντρα τόξα των παράλληλων κύκλων απέχουν εξίσου μεταξύ τους και ο πόλος είναι τόξο κύκλου, τότε πρόκειται για την απλή ή απλοποιημένη κωνική προβολή.

β) Αν οι αποστάσεις μεταξύ των ομόκεντρων τόξων μεγαλώνουν προς τον πόλο και ο πόλος απεικονίζεται ως σημείο, τότε η προβολή αυτή είναι η ίσης έκτασης του Lambert.

ΙΙ.         Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι ομόκεντρα τόξα και οι μεσημβρινοί σχηματίζουν, εκτός από τον κεντρικό μεσημβρινό, καμπύλες γραμμές, τότε πρόκειται για μη γνήσια κωνική προβολή.

α) Αν τα ομόκεντρα τόξα και ο κεντρικός μεσημβρινός χωρίζονται σε ίσα τμήματα και οι υπόλοιποι μεσημβρινοί σχηματίζουν καμπύλες, η προβολή αυτή είναι του Bonne.

β) Αν οι παράλληλοι κύκλοι σχηματίζουν τόξα που ανήκουν σε κύκλους με διαφορετικές ακτίνες, και κατά την ανατολική - δυτική διεύθυνση στο χάρτη διακρίνονται ζώνες, οι οποίες μόνον στον κεντρικό μεσημβρινό εφάπτονται, ενώ όσο απομακρύνεται κανείς απ' αυτόν, οι ζώνες αφήνουν διάκενα μεταξύ τους, η προβολή αυτή είναι η πολυκωνική.

III.       Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι κλειστοί ομόκεντροι κύκλοι, οι με-σημβρινοί σχηματίζουν δέσμη ακτινών, και ο οριακός παράλληλος κύκλος καθορίζει την κυκλική μορφή του χάρτη, τότε η προβολή αυτή είναι πολική αζιμουθιακή.

α) Αν η απόσταση των παράλληλων κύκλων αυξάνει προς τα άκρα της προβολής, και το απεικονιζόμενο τμήμα της σφαίρας δεν φτάνει μέχρι τον ισημερινό, η προβολή αυτή είναι η γνωμονική ή κεντρική.

β) Αν η απόσταση των παράλληλων κύκλων αυξάνει προς τα άκρα της προβολής, και το απεικονιζόμενο τμήμα της σφαίρας φτάνει μέχρι τον ισημερινό, τότε η προβολή αυτή είναι η πολική στερεογραφική.

γ) Αν η απόσταση των παράλληλων κύκλων ελαττώνεται γρήγορα προς τα άκρα της προβολής, και το απεικονιζόμενο τμήμα αντιστοιχεί με ένα ημισφαίριο, η προβολή αυτή είναι η πολική ορθογραφική.

δ) Αν η απόσταση των παράλληλων κύκλων ελαττώνεται σταδιακά προς τα άκρα της προβολής, η προβολή αυτή είναι η πολική αζιμουθιακή ίσης έκτασης, του Lambert.

IV.       Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι υπερβολές, οι μεσημβρινοί παράλληλες γραμμές, και ο πόλος δεν απεικονίζεται, τότε πρόκειται για την ιση-μερινή γνωμονική αζιμουθιακή προβολή.

V.        Αν οι παράλληλοι κύκλοι είναι υπερβολές, ή κοντά στους πόλους γίνονται ελλείψεις, και οι μεσημβρινοί, εκτός από τον κεντρικό, είναι καμπύλες γραμμές, η προβολή αυτή είναι η πλάγια ίσης έκτασης αζιμουθιακή.

VI.       Αν ο ισημερινός και ο κεντρικός μεσημβρινός σχηματίζουν ορθογώνιο σύστημα αξόνων, όλοι οι άλλοι παράλληλοι και μεσημβρινοί είναι καμπύλες γραμμές, και το όριο της προβολής είναι κυκλικό, η προβολή αυτή είναι η ισημερινή αζιμουθιακή.

α) Αν οι αποστάσεις των παράλληλων και των μεσημβρινών αυξάνουν προς τα άκρα της προβολής, η προβολή αυτή είναι η ισημερινή στερεογραφική.

β) Αν οι αποστάσεις των παράλληλων κύκλων ελαττώνονται σταδιακά προς τα άκρα της προβολής, η προβολή αυτή είναι η ισημερινή ίσης έκτασης, του Lambert.

VII.      Αν ο ισημερινός και ο κεντρικός μεσημβρινός σχηματίζουν ορθογώνιο σύστημα αξόνων, οι υπόλοιποι παράλληλοι και οι μεσημβρινοί είναι καμπύλες γραμμές, και το μήκος του κεντρικού μεσημβρινού είναι ίσο ή μικρότερο από το μισό του ισημερινού, και οι πόλοι απεικονίζονται ως γραμμές, τότε η προβολή αυτή είναι του Winkel.

4.3.3.7. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ

Ανάλογα με το σκοπό για τον οποίο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας χάρτης, χρησιμοποιείται και ανάλογη προβολή.

Δεν υπάρχει προβολή που να έχει την ιδιότητα ταυτόχρονης πιστότητας γωνιών, εκτάσεων και αποστάσεων, όπως συμβαίνει με την υδρόγειο.

Αποφασιστικής σημασίας για την επιλογή μιας προβολής είναι το να πληρεί μια από τις τρεις ιδιότητες που προαναφέραμε.

Δεν υπάρχουν προβολές που να είναι ταυτόχρονα ισογωνικές και ίσης έκτασης.  Μόνον ορισμένες προβολές που είναι ίσης έκτασης, σε ορισμένες διευθύνσεις, είναι ταυτόχρονα και ίσης απόστασης, όπως π.χ. του Bonne και η Μερκατορική - Σανσονική.

Ήδη από την εποχή των ανακαλύψεων, για ισογωνικούς ναυτικούς χάρτες χρησιμοποιείται η Μερκατορική προβολή, η οποία όπως προαναφέραμε απεικονίζει την λοξοδρόμο ως ευθεία γραμμή.

Εκτός από την Μερκατορική προβολή, για την κατασκευή ισογωνικών χαρτών χρησιμοποιούνται επίσης οι πολικές και ισημερινές στερεογραφικές προβολές.  Ιδιαίτερα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή ναυτικών και αεροπορικών χαρτών, καθώς επίσης για αστρονομικούς και για χάρτες καιρού.

Χάρτες που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν για συγκρίσεις εκτάσεων, πρέπει να είναι ίσης έκτασης και να παρουσιάζουν κατά το δυνατόν τη μικρότερη παραμόρφωση.  Από τις γνήσιες κυλινδρικές προβολές, η προβολή του Lambert έχει εν μέρει τις προϋποθέσεις που προαναφέραμε.  Έχει το πλεονέκτημα ότι οι παράλληλοι και οι μεσημβρινοί τέμνονται κάθετα μεταξύ τους, αλλά και το μειονέκτημα ότι οι αποστάσεις των παράλληλων κύκλων μικραίνουν σε μέσα και μεγάλα γεωγραφικά πλάτη.  Από τις μη γνήσιες ίσης έκτασης κυλινδρικές προβολές, οι προβολές του Mollweide και η Μερκατορική - Σανσονική, εξαιτίας της σημαντικής σύγκλισης των μεσημβρινών προς τους πόλους έχουν περιορισμένη χρήση.

Για οικονομικούς και θεματικούς χάρτες περιοχών με μέσα γεωγραφικά πλάτη χρησιμοποιούνται οι ίσης έκτασης προβολές του Eckert.

Οι ίσης έκτασης κωνικές προβολές του Lambert και Bonne δεν χρησιμοποιούνται για παγκόσμιους χάρτες, εξαιτίας των μη κανονικών σχημάτων που δίνουν στα περιθώρια τους.  Αντίθετα χρησιμοποιούνται συχνά για χάρτες ηπείρων και για χάρτες μικρότερων περιοχών, που βρίσκονται στο ένα ή το άλλο ημισφαίριο, ασύμμετρα ως προς τον ισημερινό.  Για χάρτες χωρών, πολύ συχνά χρησιμοποιείται η προβολή του Alber.  Η προβολή αυτή επιτρέπει να απεικονιστούν ως ενιαίες μεγάλες περιοχές, και επιπλέον με την προβολή αυτή είναι δυνατή η επέκταση χαρτών που ήδη υπάρχουν, (π.χ. Άτλαντες), σε τυχαία διεύθυνση, επειδή οι μεσημβρινοί απεικονίζονται ως ευθείες γραμμές.

Οι επίσημες τοπογραφίσεις για χάρτες μεγάλης κλίμακας εξυπηρετούνται με την πρακτικά χωρίς σφάλματα πολυεδρική προβολή, ή με την πολυκωνική προβολή.

Δεν υπάρχουν προβολές που σε όλη τους την έκταση να είναι ίσης απόστασης.  Μόνον χάρτες πολύ μεγάλης κλίμακας (σχέδια και τοπογραφικά διαγράμματα) είναι σ' όλη τους την έκταση ίσης απόστασης.  Μερικές ίσης έκτασης προβολές, σε ορισμένα τμήματα, είναι περίπου και ίσης απόστασης.  Στους πολικούς χάρτες, οι αποστάσεις που μετρούνται κατά μήκος των ακτινών των μεσημβρινών αντιστοιχούν με τις πραγματικές αποστάσεις στη γήινη σφαίρα.

Γενικά ισχύει ο παρακάτω κανόνας.  Για χάρτες Άτλαντες περιοχών με ανατολική - δυτική επέκταση, χρησιμοποιούνται κυλινδρικές προβολές και για πολικές περιοχές, πρέπει να επιλέγονται οι πολικές αζιμουθιακές προβολές.   Για πολικούς χάρτες, χρησιμοποιείται κυρίως η ίσης έκτασης προβολή του Lambert.

Τελευταία, η εκλογή της προβολής για τη Γεωγραφία έχει ιδιαίτερη σημασία.  Το δίκτυο των παράλληλων και των μεσημβρινών πρέπει να επιτρέπει την εύκολη σύγκριση της θέσης.  Οι έντονα κεκαμμένοι παράλληλοι δεν ευνοούν μια τέτοια σύγκριση.  Μια ανατολική - δυτική σύγκριση θέσης γίνεται ευκολότερα, όταν οι παράλληλοι κύκλοι απεικονίζονται ως παράλληλες γραμμές σε ίσες αποστάσεις.  Οι κεκαμμένοι μεσημβρινοί στην προβολή δεν δυσκολεύουν μια βόρεια-νότια σύγκριση, γιατί και στη γήινη σφαίρα οι μεσημβρινοί είναι κεκαμμένοι.