Κρυσταλλικές τάξεις

» Αρχική σελίδα

Κρυσταλλικές τάξεις	crystal classes

Κρυσταλλικές τάξεις είναι ομάδες κρυσταλλικών πολυέδρων, τα οποία έχουν κοινά στοιχεία συμμετρίας.

Παράδειγμα: Το εξάεδρο [1] και το οκτάεδρο [2] έχουν τα ίδια στοιχεία συμμετρίας (3Λ⁴ 4L³ 6L² 3Π 6Ρ C). Άρα ανήκουν στην ίδια κρυσταλλική τάξη, συγκεκριμένα στην ολοεδρία του κυβικού.



Εξάεδρο	Οκτάεδρο
[Κρύσταλλος] [Video]	[Κρύσταλλος] [Video]
[1]	[2]

Παράδειγμα: Το ίδιο συμβαίνει με το εξαγωνικό πρίσμα [3] και την εξαγωνική αμφιπυραμίδα [4] (Λ⁶ 3L² 3L'² Π 3Ρ 3Ρ' C). Άρα και αυτά ανήκουν στην ίδια κρυσταλλική τάξη, συγκεκριμένα στην ολοεδρία του εξαγωνικού.



Εξαγωνικό πρίσμα	Εξαγωνική αμφιπυραμίδα
[Κρύσταλλος] [Video]	[Κρύσταλλος] [Video]
[3]	[4]

Αν συνδυαστούν τα στοιχεία συμμετρίας (άξονες, επίπεδα, κέντρο), τότε παράγονται 32 συνδυασμοί, δηλαδή 32 κρυσταλλικές τάξεις.

Η παραγωγή των κρυσταλλικών τάξεων βασίζεται σε ορισμένους γεωμετρικούς κανόνες:

Αν υπάρχει ένας μόνο άξονας συμμετρίας Λ^ν, τότε κάθε επίπεδο συμμετρίας ή θα είναι κάθετο σε αυτόν ή θα διέρχεται από αυτόν. Στην δεύτερη περίπτωση θα υπάρχουν συνολικά ν επίπεδα που θα διέρχονται από τον άξονα και θα τέμνονται μεταξύ τους σε ίσες γωνίες 180°/ν.

Παράδειγμα: Στο εξαγωνικό πρίσμα [3] υπάρχει ένας κύριος άξονας Λ⁶. Πράγματι, το πολύεδρο αυτό έχει ένα οριζόντιο επίπεδο συμμετρίας κάθετο σε αυτόν (που είναι το κύριο επίπεδο Π) και 6 κατακόρυφα επίπεδα συμμετρίας που διέρχονται από αυτόν και τέμνονται υπό γωνία 30° = 180°/6 (που είναι τα δευτερεύοντα 3Ρ και 3Ρ'). Τα 3Ρ διέρχονται από τις απέναντι κατακόρυφες ακμές και τα 3Ρ' από τα μέσα των απέναντι κατακόρυφων εδρών. Αντίστοιχα, το ίδιο συμβαίνει και στην εξαγωνική αμφιπυραμίδα [4].

Αν υπάρχει μόνο ένας άξονας συμμετρίας Λ^ν και υπάρχει και L², τότε Λ^ν ⊥ L² και θα υπάρχουν συνολικά ν άξονες 2ης τάξης, οι οποίοι θα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και θα τέμνονται μεταξύ τους σε ίσες γωνίες 180°/ν.

Παράδειγμα: Στο εξαγωνικό πρίσμα [3] υπάρχει ένας κύριος άξονας Λ⁶ και υπάρχουν και άξονες L². Πράγματι, το πολύεδρο αυτό έχει 6L² (τρεις από τα μέσα των απέναντι ακμών και τρεις από τα κέντρα των απέναντι εδρών), οι οποίοι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (το κύριο επίπεδο συμμετρίας Π) και τέμνονται υπό γωνία 30° = 180°/6. Οι άξονες αυτοί είναι οι δευτερεύοντες 3L² και 3L'². Αντίστοιχα, το ίδιο συμβαίνει και στην εξαγωνική αμφιπυραμίδα [4].

Αν έχουμε ν επίπεδα συμμετρίας που διέρχονται από την ίδια ευθεία, τότε αυτά τέμνονται σε ίσες γωνίες και η τομή τους είναι ένας άξονας ν τάξης.

Παράδειγμα: Και εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα του εξαγωνικού πρίσματος [3] και της εξαγωνικής αμφιπυραμίδας [4]. Σε αυτά παρατηρούμε 6 κατακόρυφα επίπεδα συμμετρίας (6Ρ), τα οποία όντως τέμνονται υπό ίσες γωνίες 30° και η τομή τους ορίζει έναν άξονα Λ⁶.

Παράδειγμα: Το ίδιο μπορούμε να παρατηρήσουμε και στο εξάεδρο [1]. Ας δούμε μία έδρα του εξαέδρου: από τα μέσα των απέναντι ακμών διέρχονται 2 επίπεδα συμμετρίας Π και από τις απέναντι κορυφές διέρχονται 2 επίπεδα συμμετρίας Ρ. Και τα 4 επίπεδα διέρχονται επίσης από την ίδια ευθεία (κάθετη στο κέντρο της έδρας). Επίσης, τέμνονται μεταξύ τους υπό γωνία 45° = 180/4, και άρα ορίζουν έναν άξονα Λ⁴. Πράγματι η ευθεία είναι άξονας Λ⁴. Αντίστοιχα, το ίδιο συμβαίνει και στο οκτάεδρο [2].

Αν έχουμε ν άξονες L² που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε αυτοί τέμνονται σε ίσες γωνίες και η τομή τους ορίζει ένα άξονα Λ^ν κάθετο στους L².

Παράδειγμα: Πάλι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα του εξαγωνικού πρίσματος [3] και της εξαγωνικής αμφιπυραμίδας [4]. Αυτά έχουν 6L² που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (το κύριο επίπεδο Π), οι οποίοι όντως τέμνονται υπό ίσες γωνίες 30° και η τομή τους ορίζει έναν άξονα Λ⁶.

Άξονας άρτιας τάξης, επίπεδο συμμετρίας κάθετο σε αυτόν και κέντρο συμμετρίας, ανά δύο συνδυαζόμενα συνεπάγονται το τρίτο.

Παράδειγμα: Ας πάρουμε για παράδειγμα το έξάεδρο [1].
α) Παρατηρούμε ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένας, άξονας Λ⁴ (ή L²) και επίπεδο συμμετρίας Π (ή Ρ) κάθετο σε αυτόν. Άρα έχει, όντως, και κέντρο συμμετρίας C.
β) Παρατηρούμε ότι υπάρχει Λ⁴ (ή L²) και έχει παράλληλες έδρες, δηλαδή κέντρο συμμετρίας C. Άρα έχει, όντως, και επίπεδα συμμετρίας Π (ή Ρ) κάθετα στους άξονες αυτούς.
γ) Παρατηρούμε ότι έχει επίπεδα συμμετρίας και παράλληλες έδρες, δηλαδή κέντρο συμμετρίας. Άρα έχει, όντως, και άξονες συμμετρίας άρτιας τάξης (Λ⁴ ή L²) κάθετους στα επίπεδα συμμετρίας.
Το ίδιο συμβαίνει και στο οκτάεδρο [2], αλλά και στο εξαγωνικό πρίσμα [3] και στην εξαγωνική αμφιπυραμίδα [4].

Άξονας περιττής τάξης, επίπεδο συμμετρίας κάθετο σε αυτόν και κέντρο συμμετρίας, ανά δύο συνδυαζόμενα αποκλείουν το τρίτο.

Παράδειγμα: Ας πάρουμε πάλι για παράδειγμα το έξάεδρο [1].
α) Παρατηρούμε ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένας, άξονας L³ και έχει παράλληλες έδρες, δηλαδή κέντρο συμμετρίας C. Άρα, όντως, δεν έχει επίπεδο συμμετρίας κάθετο στον L³.
β) Παρατηρούμε ότι έχει επίπεδα συμμετρίας και παράλληλες έδρες, δηλαδή κέντρο συμμετρίας C. Άρα, όντως, αν έχει άξονα περιττής τάξης, δεν μπορεί να είναι κάθετος στα επίπεδα αυτά. Το ίδιο συμβαίνει και στο οκτάεδρο [2].
Ένα άλλο παράδειγμα είναι το τριγωνικό πρίσμα [5]. Εδώ έχουμε άξονα Λ³ και επίπεδο συμμετρίας Π κάθετο σε αυτόν. Άρα, όντως, δεν έχει κέντρο συμμετρίας.



Τριγωνικό πρίσμα	Τετράεδρο
[Κρύσταλλος] [Video]	[Κρύσταλλος] [Video]
[5]	[6]

Αν συνδυαστούν μεταξύ τους άξονες συμμετρίας τάξης ανώτερης της 2ης (περισσότεροι από ένας), οι μόνοι δυνατοί συνδυασμοί είναι: α) 3Λ⁴ 4L³, β) 3Λ⁴ 4L³ 6L² και γ) 6L⁵ 10L³ 15L².

Από αυτούς ο τελευταίος αποκλείεται από τους κρυστάλλους διότι έχει άξονες 5ης τάξης. Από τους άλλους δύο συνδυασμούς, οι οποίοι είναι επιτρεπόμενοι, ο πρώτος καλείται τετραεδρικός διότι συναντιέται στο κανονικό τετράεδρο [6] και ο δεύτερος οκταεδικός διότι συναντιέται στο κανονικό οκτάεδρο [2].

Σημείωση:
Οι παραπάνω κανόνες μπορούν να φανούν χρήσιμοι και κατά τη μελέτη των ξύλινων κρυστάλλων στο εργαστήριο, έτσι ώστε να μη γίνεται άσκοπη αναζήτηση στοιχείων συμμετρίας που δεν υπάρχουν.

Με βάση αυτούς τους κανόνες ξεκινώντας από μεμονωμένα στοιχεία συμμετρίας (κέντρο, επίπεδο, άξονες) και προσθέτοντας σταδιακά άλλα στοιχεία παίρνουμε 32 δυνατούς συνδυασμούς, οι οποίοι αποτελούν τις 32 κρυσταλλικές τάξεις. Αυτές, από τις απλούστερες προς τις συνθετότερες, παρατίθενται στον παράκατω πίνακα.

Παραγωγή των 32 κρυσταλλικών τάξεων


Α/Α	ΑΡΧΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ	ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ	ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ	ΠΛΗΡΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ	ΣΥΣΤΗΜΑ

1.	0	---	---	---	Τρικλινές
2.	C	---	---	C	Τρικλινές

3.	P	---	---	P	Μονοκλινές
4.	L²	---	---	L²_πολ
5.	L²	C	P ⊥ L²	L² P C

6.	L²	P \|\| L²	2P	L²_πολ P' P"	Ρομβικό
7.	L²	L² ⊥ L²	2L²	L² L'² L"²
8.	L² L'² L"²	C	P P' P"	L² L'² L"² P P' P" C

9.	Λ³	---	---	Λ³_πολ	Τριγωνικό
10.	Λ³	C	---	Λ³ C
11.	Λ³	Π ⊥ Λ³	---	Λ³ Π
12.	Λ³	P \|\| Λ³	3P	Λ³_πολ 3P
13.	Λ³	L² ⊥ Λ³	3L²	Λ³ 3L²_πολ
14.	Λ³ L²	C	3P ⊥ 3L²	Λ³ 3L² 3P C
15.	Λ³ L²	Π ⊥ Λ³	3P' \|\| 3L²	Λ³ 3L²_πολ Π 3P'

16.	Λ²₄	---	---	Λ²₄	Τετραγωνικό
17.	L² L² L²	P' \|\| L²	2Ρ'	Λ²₄ 2L² 2Ρ'
18.	Λ⁴	---	---	Λ⁴_πολ
19.	Λ⁴	C	Π ⊥ Λ⁴	Λ⁴ Π C
20.	Λ⁴	P \|\| Λ⁴	4Ρ	Λ⁴_πολ 2P 2Ρ'
21.	Λ⁴	L² ⊥ Λ⁴	4L²	Λ⁴ 2L² 2L'²
22.	Λ⁴ 2L² 2L'²	C	Π 2Ρ 2Ρ'	Λ⁴ 2L² 2L'² Π 2P 2Ρ' C

23.	Λ⁶	---	---	Λ⁶_πολ	Εξαγωνικό
24.	Λ⁶	C	Π ⊥ Λ⁶	Λ⁶ Π C
25.	Λ⁶	P \|\| Λ⁶	6Ρ	Λ⁶_πολ 3P 3Ρ'
26.	Λ⁶	L² ⊥ Λ⁶	6L²	Λ⁶ 3L² 3L'²
27.	Λ⁶ 3L² 3L'²	C	Π 3Ρ 3Ρ'	Λ⁶ 3L² 3L'² Π 3P 3Ρ' C

28.	3Λ² 4L³	---	---	3Λ² 4L³_πολ	Κυβικό
29.	3Λ² 4L³	C	3Π	3Λ² 4L³ 3Π C
30.	3Λ² 4L³	P \|\| L²	6Ρ	3Λ² 4L³_πολ 6P
31.	3Λ⁴ 4L³ 6L²	---	---	3Λ⁴ 4L³ 6L²
32.	3Λ⁴ 4L³ 6L²	C	3Π 6Ρ	3Λ⁴ 4L³ 6L² 3Π 6P C