Στροφοαναστροφή είναι μία διεργασία που παράγει συμμετρία με συνδυασμό στροφής περί άξονα και ταυτόχρονης αναστροφής ως προς κάποιο κέντρο. Μέχρι τώρα είδαμε πώς τα βασικά στοιχεία συμμετρίας παράγουν συμμετρία με απλές διαδικασίες, δηλαδή οι άξονες με στροφή, τα επίπεδα με κατοπτρισμό και το κέντρο με αναστροφή. Υπάρχουν όμως κάποιες περιπτώσεις που η συμμετρία είναι σύνθετη, δηλαδή δημιουργείται με συνδυασμό των απλών συμμετρικών διεργασιών.

Για να γίνει κατανοητή η στροφοαναστροφή, ας εξετάσουμε το σφηνόεδρο [1]. Το σφηνόεδρο φαινομενικά έχει 3 άξονες 2ης τάξης κάθετους μεταξύ τους, εκ των οποίων οι δύο οριζόντιοι L² είναι ίσοι μεταξύ τους, ενώ ο κατακόρυφος Λ² είναι άνισος [2]. Αυτά τα στοιχεία συμμετρίας παραπέμπουν στο τετραγωνικό σύστημα, όμως που είναι ο άξονας Λ⁴;

Ας παρατηρήσουμε προσεκτικότερα. Στρέφουμε το σφηνόεδρο [1], έτσι ώστε ο κατακόρυφος άξονας να είναι κάθετος στο επίπεδο της οθόνης. Σε αυτή τη θέση το πάνω μέρος του σφηνοέδρου θα φαίνεται σαν δύο ισοσκελή τρίγωνα που κλίνουν προς τα πάνω και κάτω, αντίστοιχα [3]. Εάν περιστρέψουμε το σφηνόεδρο κατά 180°, θα ξαναέρθει στην ίδια θέση [4]. Δηλαδή, φαινομενικά έχουμε άξονα 2ης τάξης [5].

Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί αν από την αρχική θέση περιστρέψουμε το σφηνόεδρο κατά 90° [6] και ακολούθως το αναστρέψουμε [7]. Το σφηνόεδρο ξαναέρχεται στην αρχική του θέση [8]. Δηλαδή το σφηνόεδρο ταυτίστηκε με τον εαυτό του με στροφή 90° περί τον κατακόρυφο άξονα και ταυτόχρονη αναστροφή. Η διαδικασία αυτή καλείται στροφοαναστροφή και ο άξονας καλείται άξονας στροφοαναστροφής και συμβολίζεται με Λ²₄ [2, 8].

Παρακάτω φαίνεται πώς σχηματίζεται το σφηνόεδρο από τον άξονα στροφοαναστροφής Λ²₄. Από την αρχική θέση [9] το σημείο Α στρέφεται κατά 90° μέχρι το σημείο Α' και αναστρέφεται δημιουργώντας το σημείο Β [10]. Το σημείο Β με την ίδια διαδικασία δημιουργεί το σημείο Γ [11], το οποίο παρομοίως δημιουργεί το σημείο Δ [12]. Το τελικό αποτέλεσμα είναι ο σχηματισμός του σφηνοέδρου ΑΒΓΔ [13].

Η διαδικασία της στροφοαναστροφής δεν περιορίζεται μόνο στην περίπτωση του άξονα Λ²₄, αλλά ισχύει και για τους υπόλοιπους άξονες. Συμβολίζεται με μία παύλα που μπαίνει πάνω από τον αριθμό που δείχνει την τάξη του άξονα στροφής. Έτσι έχουμε 1, 2, 3, 4 και 6 (συμπεριλαμβάνεται και ο άξονας 1ης τάξης).

Η μοναδικότητα της στροφοαναστροφής 4 (Λ²₄) έγκειται στο ότι παράγει το σφηνόεδρο που δεν μπορεί να παραχθεί με άλλες συμμετρικές διαδικασίες. Στις υπόλοιπες περιπτώσεις 1, 2, 3, και 6 η στροφοαναστροφή ισοδυναμεί με απλή ή συνδυασμό απλών διαδικασιών.

Τα παρακάτω σχήματα εξηγούν γραφικά τις διάφορες περιπτώσεις στροφοαναστροφής. Στο κάτω μέρος του σχήματος οι μαύρες και λευκές τελείες αντιστοιχούν στα σημεία πάνω και κάτω από το σημείο αναστροφής.

1 = C

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 360° και αναστρέφεται. Το τελικό σημείο είναι συμμετρικό ως προς το αρχικό. Δηλαδή, το ίδιο παράγει και το κέντρο συμμετρίας. Άρα, η στροφοαναστροφή 1 ισοδυναμεί με C [14].

2 = P

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 180° και αναστρέφεται. Το τελικό σημείο είναι κατοπτρικό ως προς το αρχικό. Δηλαδή, το ίδιο παράγει και το επίπεδο συμμετρίας. Άρα, η στροφοαναστροφή 2 ισοδυναμεί με Ρ [15].

3 = Λ³ + C

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 120° και αναστρέφεται. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 6 σημεία, τα οποία μπορούν να παραχθούν με συνδυασμό ύπαρξης άξονα 3ης τάξης και κέντρου συμμετρίας. Άρα, η στροφοαναστροφή 3 ισοδυναμεί με Λ³ και C [16].

4 = Λ²₄

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 90° και αναστρέφεται. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 σημεία, τα οποία μπορούν να παραχθούν μόνο με ύπαρξη άξονα Λ²₄. Άρα, η στροφοαναστροφή 4 ισοδυναμεί με Λ²₄ [17].

6 = Λ³ + Π

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 60° και αναστρέφεται. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 6 σημεία, τα οποία μπορούν να παραχθούν με συνδυασμό ύπαρξης άξονα 3ης τάξης και επιπέδου συμμετρίας. Άρα, η στροφοαναστροφή 6 ισοδυναμεί με Λ³ και Π [18].

Παρατήρηση: Η στροφοαναστροφή περιλαμβάνει αναστροφή ως προς κάποιο κέντρο, δεν συνεπάγεται όμως ότι αυτό θα είναι οπωσδήποτε και κέντρο συμμετρίας. Π.χ. στις περιπτώσεις 4 και 6 το κέντρο αναστροφής δεν αποτελεί κέντρο συμμετρίας.

Στροφοκατοπτρισμός είναι παρόμοια διεργασία με την στροφοαναστροφή που παράγει συμμετρία με συνδυασμό στροφής περί άξονα και ταυτόχρονου κατοπτρισμού ως προς επίπεδο κάθετο στον άξονα στροφής. Συμβολίζεται με S_ν, όπου ν η τάξη του άξονα στροφής.

Τα παρακάτω σχήματα εξηγούν γραφικά τις διάφορες περιπτώσεις στροφοκατοπτρισμού. Στο κάτω μέρος του σχήματος οι μαύρες και λευκές τελείες αντιστοιχούν στα σημεία πάνω και κάτω από το επίπεδο κατοπτρισμού.

S₁ = 2 = P

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 360° και κατοπτρίζεται. Το τελικό σημείο είναι κατοπτρικό ως προς το αρχικό. Δηλαδή, το ίδιο παράγει και το επίπεδο συμμετρίας. Άρα, ο στροφοκατοπτρισμός S₁ ισοδυναμεί με P [19].

S₂ = 1 = C

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 180° και κατοπτρίζεται. Το τελικό σημείο είναι συμμετρικό ως προς το αρχικό. Δηλαδή, το ίδιο παράγει και το κέντρο συμμετρίας. Άρα, ο στροφοκατοπτρισμός S₂ ισοδυναμεί με C [20].

S₃ = 6 = Λ³ + Π

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 120° και κατοπτρίζεται. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 6 σημεία, τα οποία μπορούν να παραχθούν με συνδυασμό ύπαρξης άξονα 3ης τάξης και επιπέδου συμμετρίας. Άρα, ο στροφοκατοπτρισμός S₃ ισοδυναμεί με Λ³ και Π [21].

S₄ = 4 = Λ²₄

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 90° και κατοπτρίζεται. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 σημεία, τα οποία μπορούν να παραχθούν μόνο με ύπαρξη άξονα Λ²₄. Άρα, ο στροφοκατοπτρισμός S₄ ισοδυναμεί επίσης με Λ²₄ [22].

S₆ = 3 = Λ³ + C

Ένα σημείο περιστρέφεται κατά 60° και κατοπτρίζεται. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 6 σημεία, τα οποία μπορούν να παραχθούν με συνδυασμό ύπαρξης άξονα 3ης τάξης και κέντρου συμμετρίας. Άρα, η ο στροφοκατοπτρισμός S₆ ισοδυναμεί με Λ³ και C [23].

Παρατήρηση: Ανάλογα με την στροφοαναστροφή, ο στροφοκατοπτρισμός περιλαμβάνει κατοπτρισμό ως προς επίπεδο, δεν συνεπάγεται όμως ότι αυτό θα είναι οπωσδήποτε και επίπεδο συμμετρίας. Π.χ. στις περιπτώσεις 4 και 6 το επίπεδο κατοπτρισμού δεν αποτελεί επίπεδο συμμετρίας.