ΚΕΦΑΛΑΙΟ  2

 

'Aσκηση 2.1

Να αποδειχθεί η σχέση  (2.1) και να εφαρμοστεί για τον υπολογισμό της μέσης πυκνότητας της Γης.

 

Ασκήσεις 2.2 - 2.6

Να δοθούν οι τιμές των βασικών ελαστικών σταθερών (λ, μ, κ, Ε, σ) σε συνάρτηση με την ταχύτητα των ελαστικών κυμάτων χώρου (εγκαρσίων και διαμηκών) και την πυκνότητα του μέσου, ρ. Επίσης να βρεθεί η βαθμίδα της πυκνότητας με την πίεση μέσα στη Γη (dρ/dp).

 

 

'Aσκηση 2.7

 

Θεωρείστε ότι η Γη αποτελείται από δύο στρώματα (πυρήνα και μανδύα) με ίδιο πάχος, όπως στο σχήμα 4. Εάν γνωρίζουμε ότι η ροπή αδρανείας ομογενούς σφαίρας ακτίνας R και μάζας Μ γύρω από άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο της είναι 0.4ΜR², τότε:

Α) Εκφράστε τη συνολική ροπή αδρανείας της Γης που περιγράφεται στο σχήμα.

Β) Αποδείξτε ότι εάν ο πυρήνας έχει διπλάσια πυκνότητα από τον μανδύα η ροπή αδρανείας της Γης θα ήταν περίπου 0.367ΜR².

Γ) Εάν γνωρίζετε ότι η πραγματική ροπή αδρανείας της Γης είναι 0.33ΜR² και η μέση πυκνότητα της Γης είναι 5.51 gr/cm³, βρείτε τις πυκνότητες του μανδύα και του πυρήνα.

 

'Aσκηση 2.8 

 

Τα πειραματικά δεδομένα (Liu, 1976) έχουν αποδείξει ότι  κάτω από τα 670km, ολόκληρος ο μανδύας αποτελείται από σχεδόν μόνο δύο πετρώματα, τον περοβσκίτη (perovskite-(Mg,Fe)SiO₃) και τον μαγνησιοβουστίτη (magnesiowustite-(Mg,Fe)O), δηλαδή οξείδια του μαγνησίου και του σιδήρου. Ο Stacey και οι συνεργάτες του (1981) υπολόγισαν ότι η πυκνότητα του κάτω μανδύα σε μηδενική θερμοκρασία και πίεση (σαν να ήταν στην επιφάνεια της Γης) θα ήταν ρ = 4.18 gr/cm³ και ότι το αντίστοιχο μέτρο κυβικής ελαστικότητας περίπου ίσο με Κ = 236 GPa. Μελετώντας μίγματα Mg-Fe οι Kesson και Fitzerald (1992) βρήκαν ότι στην επιφάνεια της Γης οι πυκνότητες του περοβσκίτη, ρ_p, και του μαγνησιοβουστίτη, ρ_M, εξαρτώνται από την αναλογία των δύο ορυκτών σε σίδηρο και μαγνήσιο, δηλαδή τον παράγοντα x = Fe/(Fe+Mg), δηλαδή:

ρ_p = 4.108 + 1.112 x_P      και       ρ_Μ = 3.583 + 2.477 x_Μ                    (35)

Επίσης, οι ίδιες μετρήσεις έδειξαν ότι η περιεκτικότητα σε Fe του ενός ορυκτού συνδεόταν με την αντίστοιχη περιεκτικότητα του άλλου ορυκτού, με τη σχέση:

x_M = 0.12 + 8.7 (x_P - 0.04)                                             (36)

Επίσης, τα αντίστοιχα μέτρα ελαστικότητας για τα δύο ορυκτά είναι Κ_p = 246 GPa και Κ_M = 155 GPa. Με βάση τα παραπάνω στοιχεία βρείτε:

 

Α) Ποια η περιεκτικότητα του κάτω μανδύα στα δύο κύρια ορυκτά από τα οποία αποτελείται;

Β) Ποια η αναλογία σιδήρου και μαγνησίου στα ορυκτά αυτά;

 

Γ) Εγκλείσματα σε διαμάντια έχουν δείξει ότι ο μαγνησιοβουστίτης που περιέχουν έχει 88% Mg και ο ενσταντίτης που περιέχουν (από τη μετατροπή του περοβσκίτη λόγω «αποσυμπίεσης») έχει 95% Mg. Είναι οι μετρήσεις αυτές σε συμφωνία με τα προηγούμενα αποτελέσματα;